Специальной правой частью

Рассмотрим теперь неоднородное линейное рекуррентное соотношение второго порядка с постоянными коэффициентами

f(n+2) = a₁×f(n+1) + a₂×f(n) + lⁿ×T_m(n),

где l – заданное комплексное число, T_m(x) = t_m×x^m + … + t₁×x + t₀ – известный многочлен степени m. Правую часть вида lⁿ×T_m(n), участвующую в этом соотношении,будем называть специальной.

Теорема (о частном решении линейного неоднородного рекуррентного соотношения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью). Для любого неоднородного линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами вида

f(n+2) = a₁×f(n+1) + a₂×f(n) + lⁿ×T_m(n),

где l Î C , T_m(x) = t_m×x^m + … + t₁×x + t₀ – многочлен степени m, существует частное решение вида v(n) = lⁿ×n^r×S_m(n), где r – кратность корня l в характеристическом уравнении c(x) = x² – a₁×x – a₂ (т.е. r = 0, если l – не корень, r = 1, если l – один из двух различных корней, r = 2, если l – единственный двукратный корень характеристического уравнения), S_m(x) – некоторый многочлен степени не выше m: S_m(x) = s_m×x^m + … + s₁×x + s₀ .

Доказательство. Положим v(n) = lⁿ×n^r×(s_m×n^m + … + s₁×n + s₀) и подберём числа s_m , … , s₀ так, чтобы получилось решение данного рекуррентного соотношения.

v(n + 2) – a₁×v(n + 1) – a₂×v(n) = lⁿ×(t_m×n^m + … + t₁×n + t₀) Û

Û lⁿ⁺²×(s_m×(n+2)^m+r+s_m–1×(n+2)^m+r–1+…+s₁×(n+2)^1+r+s₀×(n+2)^r) –

– a₁×lⁿ⁺¹×( s_m×(n+1)^m+r+s_m–1×(n+1)^m+r–1+…+s₁×(n+1)^1+r+s₀×(n+1)^r) +

+ a₂×lⁿ×( s_m×n^m+r+s_m–1×n^m+r–1+…+s₁×n^1+r+s₀×n^r) =

= lⁿ×(t_m×n^m + … + t₁×n + t₀) Û {: lⁿ ¹ 0} Û

Û l²×(s_m×(n+2)^m+r+s_m–1×(n+2)^m+r–1+…+s₁×(n+2)^1+r+s₀×(n+2)^r) –

– a₁×l×( s_m×(n+1)^m+r+s_m–1×(n+1)^m+r–1+…+s₁×(n+1)^1+r+s₀×(n+1)^r) +

+ a₂×( s_m×n^m+r+s_m–1×n^m+r–1+…+s₁×n^1+r+s₀×n^r) =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û

Û s_m×[l²×(n+2)^m+r – a₁×l×(n+1)^m+r – a₂×n^m+r] + …

… + s_i×[l²×(n+2)^i+r – a₁×l×(n+1)^i+r – a₂×n^i+r] + …

… + s₀×[l²×(n+2)^r – a₁×l×(n+1)^r – a₂×n^r] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ .

Рассмотрим три возможные случая, обозначенные в теореме:

1. l – не корень характеристического уравнения. Тогда r = 0, и последнее соотношение приобретает следующий вид:

s_m×[l²×(n+2)^m – a₁×l×(n+1)^m – a₂×n^m] + …

… + s_i×[l²×(n+2)ⁱ – a₁×l×(n+1)ⁱ – a₂×nⁱ] + …

… + s₀×[l²×(n+2)⁰ – a₁×l×(n+1)⁰ – a₂×n⁰] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û {бином Ньютона} Û

Û s_m×[l²×(n^m+ ×n^m–1×2+…+ ×n×2^m–1+2^m) – a₁×l×(n^m+ ×n^m–1+…+ ×n+1)–a₂×n^m]+ …

… + s_i×[l²×(nⁱ+ ×n^i–1×2+…+ ×n×2^i–1+2ⁱ) – a₁×l×(nⁱ+ ×n^i–1+…+ ×n+1) – a₂×nⁱ] + …

… + s₀×[l² – a₁×l – a₂] = t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û

Û s_m×[(l²–a₁×l–a₂)×n^m +(l²× ×2 – a₁×l× )×n^m–1 +...+(l²×2^m – a₁×l)]+ …

… + s_i×[(l²–a₁×l–a₂)×nⁱ +(l²× ×2 – a₁×l× )×n^i–1 +...+(l²×2ⁱ – a₁×l)]+ …

…+ s₀×[l² – a₁×l – a₂] = t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ .

Для определения чисел s₀ , s₁ , … , s_m приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n, получив систему уравнений:

из которой последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

2. l = l₁ ¹ l₂ – простой корень характеристического уравнения. Тогда r = 1, и исследуемое соотношение приобретает следующий вид:

s_m×[l²×(n+2)^m+1 – a₁×l×(n+1)^m+1 – a₂×n^m+1] + …

… + s_i×[l²×(n+2)ⁱ⁺¹ – a₁×l×(n+1)ⁱ⁺¹ – a₂×nⁱ⁺¹] + …

… + s₀×[l²×(n+2)¹ – a₁×l×(n+1)¹ – a₂×n¹] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û {бином Ньютона} Û

Û s_m×[l²×(n^m+1+ +2^m+1) – a₁×l×(n^m+1+ +1) – a₂×n^m+1] + …

… + s_i×[l²×(nⁱ⁺¹+ +2ⁱ⁺¹) – a₁×l×(nⁱ⁺¹+ +1) – a₂×nⁱ⁺¹] +…

… + s₀×[l²×(n+2) – a₁×l×(n+1) – a₂×n] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û

Û s_m×[(l² – a₁×l – a₂)×n^m+1+ + (l²×2^m+1 – a₁×l)] + …

…+s_i×[(l² – a₁×l– a₂)×nⁱ⁺¹+ + (l²×2ⁱ⁺¹ – a₁×l)] + …

… + s₀×[(l² – a₁×l – a₂)×n + l²×2 – a₁×l] = t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ .

Учитывая, что l² – a₁×l – a₂ = 0 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях, получим

.

Здесь l²×2 – a₁×l ¹ 0 поскольку l ¹ 0 (иначе a₂ = 0) и l×2 – a₁ ¹ 0 (иначе было бы l₁ = l₂).Поэтому из этой системы последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

3. l₁ = l = l₂ . Тогда r = 2, a₁ = 2×l , a₂ = l² . Исследуемое соотношение в этом случае приобретает следующий вид:

s_m×[l²×(n+2)^m+2 – a₁×l×(n+1)^m+2 – a₂×n^m+2] + …

… + s_i×[l²×(n+2)ⁱ⁺² – a₁×l×(n+1)ⁱ⁺² – a₂×nⁱ⁺²] + …

… + s₀×[l²×(n+2)² – a₁×l×(n+1)² – a₂×n²] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ t₀ Û {бином Ньютона} Û

Û s_m×[l²×(n^m+2+ +2^m+2) – a₁×l×(n^m+2+ +1) – a₂×n^m+2] + …

… + s_i×[l²×(nⁱ⁺²+ +2ⁱ⁺¹) – a₁×l×(nⁱ⁺²+ +1) – a₂×nⁱ⁺²] +…

… + s₀×[l²×(n² +4×n + 4) – a₁×l×(n² + 2×n + 1) – a₂×n²] =

= t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ Û

Û s_m×[(l² – a₁×l – a₂)×n^m+2+ + (l²×2^m+2 – a₁×l)] + …

…+s_i×[(l² – a₁×l– a₂)×nⁱ⁺²+ + (l²×2ⁱ⁺² – a₁×l)] + …

… + s₀×[(l² – a₁×l – a₂)×n² + (l²×4 – a₁×l×2)×n + l²×4 – a₁×l] = t_m×n^m + … + t₁×n + t₀ .

Учитывая, что l² – a₁×l – a₂ = 0, a₁ = 2×l и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях, получим

.

Здесь l²×2² – a₁×l ¹ 0 поскольку l ¹ 0 (иначе a₂ = 0) и l×2² – a₁ ¹ 0 поскольку a₁ = 2×l. Поэтому из этой системы последовательно и однозначно находятся все числа s_m , s_m–1 , … , s₀ .

Теорема доказана.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: