Свойства функций, непрерывных на отрезке

1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.

2) Если f(x) непр-на в т. х₀, то limf(x)= f(x₀).

3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).

4) Пусть ф-ция u=φ(х) непр-на в точке х₀, а функция у=ƒ(u) непр-вна в точке u₀=φ(х_о). Тогда сложная ф-ия ƒ(φ(х)), сост-я из непр-вных ф-ций, непр-на в точке х₀.

5) Если ф-я у=ƒ(х) непрер. и строго монотонна на [a;b] оси Oх, то обр. ф-я у=φ(х) также непрер. и монотонна на соотв. отрезке [c;d] оси Оу.

42.Производная функции, ее геометр, механ, экон. Смысл. Эластичность функции.

Пусть ф-ция y=f(x) определена на некот множ-тве Х, тогда произв.ф-цией y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независ. переменной, если этот предел сущ-ет когда приращ-е аргумента стремится к нулю. Если ввести обозначения: то выраж-е можно записать в виде:

Обозначается произ-я у’, f’(x), ,

C геометр. точки зр. значения производной ф-ции, вычисленное в некот. точке численно равно угловому коофициенту касательной, проведенной к графику ф-ции у=f(x) в точке с абсциссой ,

т.е. f’(

f’(

Пусть задана ф-ция S=S(t), кот. опред-ет зависимость пути от времени,в механике S’(t)=V –мгнов.скорость в момент времени t.

Пусть задана ф-ция у=f(x), для которой сущ-ет производная у’=f’(x). Эластич-тью ф-ции у=f(x) относ-но переменной х назыв-ся предел:

Его обознач-т

Эластич-ть относ-но х есть приближен.процентн прирост ф-ции (повышение/пониж-е) при приращении независ переменной на 1%.

44. Основные правила дифференцирования. Таблица произв-ых.

Операция нахождения производной назыв. дифференцированием.

Пусть u=u(x), v=v(x)- некот диффер-мые ф-ии, с-конст. Тогда:

1)С’=0. 2)(u±v)’=u’±v’ 3)(uv)’=u’v+uv’. 4)(c u)’=c u’. 5) 6)y=f(u), где u= .Произв-я сложн ф-ции = произвед-ю произв-ых составляющих ее ф-ций: y’= . Т-ца осн. пр-ых: (1/x)’=-1/ ;

;

47.Дифференцирование неявной функции.

Производная показательной функции:

При для любого х

Производная неявной функции:

При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: = . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением :

, .

48. Производные высших порядков:

Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))'

49. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.

Теорема Ферма:

Пусть функция определена на X и во внутренней точке С этого промежутка принимает наиб-е или наимен-е знач-е. Если сущ конечная пр-я , то необх-мо, чтобы .Док-во: Пусть в точке с принимает наиб-е значение, т.е. ≥ для х Х. По опред-ю пр-ой: = Этот предел не зависит от того, приближ-ся х к с слева или справа.Разность ≤0, следовательно, при х>с

≤0,а при x>c ≥0. Переходим к пределу:

Т. К. по усл. существует, то односторонние производные равны и =0 ∆

Теорема Роля: Пусть задана ф-ция и пусть она: 1) определена и непрepывна на ; 2) дифференц-ма, по крайней мере, на ; 3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е. . Тогда найдётся с (a<c<b) такое, что =0.Док-во: Ф-ция непрерывна на , следов-но, достиг наиб-го М и наимен-го m знач-й, т.е. m≤ ≤M. Рассмотрим 2 случая:1)M=m. Тогда =const, =М, =0 и любую точку из можно принять за с.2)M>m. Так как ,то М и m не достиг-ся оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достиг-ся в точке c , а по теореме Ферма =0 ∆.

Геом смысл теорем Роля и Ферма состо в том, что при выполн-и условий теоремы на инт-ле сущ точка e такая, что в соответ-ей т-ке кривой касательная ║ оси Ох. Таких точек на интервале может быть и неск-ко, но теорема утверждает существ-е по кр. мере 1 такой точки.

50.Теорема Лагранжа о конечных приращениях, ее геометрический смысл.

Теорема Лагранжа: Пусть задана ф-я и пусть она: 1) опр-на и непрер на ; 2) имеет кон произв-ю на . Тогда найдётся такая т. с (a<c<b), что вып-ся рав-во

Док-во: Введём вспомогат функцию

Она удовл-т всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(x) опред-на и непрер на , ,

,т.е. сущ на . След-но, найдётся точка с (a<c<b), такая, что F’(c) = 0, т.е.

или

Тогда ∆

51. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.Пусть ф-и f(x) и g(x) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределов при x → для раскрытия неопред-тей вида или удобно применить пр. Лопиталя :

, Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, , , часто удается свести к неопределенностям вида или с помощью различных преобразований.

39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.

Ф-я наз-ся возраст-ей на инт-ле , если для любых и из этого инт-ла, для которых , верно нерав-во . Ф-я наз-ся убыв-ей на инт-ле , если для любых x₁ и x₂ из этого инт-ла, для кот , верно нерав-во .Необх-ое усл-е возраст-я ф-ии:если ф-ия диффер-ма и возраста на инт-ле , то для всех х из этого инт-ла.Необх-ое усл-е убыв-я ф-ции. Если ф-ция дифф-ма и убыва на инт-ле , то для всех х из этого инт-ла.Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я ф-и). Пусть ф-я диф-ма на инт-ле . Если во всех точках этого инт-ла , то ф-ия возраста на этом интле, а если , то ф-я убывает на этом инт-ле.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: