Сделай Сам Свою Работу на 5

Глава 5 Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве.





Виды уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости.

 

Ах+Ву+Сz+D=0

Коэффициенты А, В, С в этом уравнении определяют так называемый нормальный вектор , перпендикулярный плоскости, то есть являются его проекциями на оси декартовой системы координат . Приравнивая к нулю различные коэффициенты мы получаем частные виды общего уравнения плоскости.

а) - уравнение плоскости принимает вид: Ах+Ву+Сz=0, такая плоскость проходит через начало координат.

б) - получаем уравнение: Ву+Сz+D=0, плоскость параллельна оси ОХ. Если коэффициент D=0:

Ву+Сz=0 – то плоскость проходит через ось ОХ.

в) - получаем уравнение Ах+СZ+D=0 плоскость параллельна оси ОУ. В случае, если и коэффициент D=0:

Ах+СZ=0 – плоскость координат проходит через ось ОУ.

г) - получаем уравнение Ах+Ву+D=0 плоскость параллельна оси ОZ. В случае равенства нулю коэффициента D=0:

Ах+Ву=0 – плоскость проходит через ось ОZ.

д)

CZ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОУ

е)

AX+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости УОZ.

ж)

ВУ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОZ.

 

Уравнение плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.



 

Пусть задана точка и вектор (Рис. 5.1)

 

 

z

 

 

p

 

 

y

 

 
 

 


x

 

Рис. 5.1

 

Возьмем произвольную точку М (х,у,z), принадлежащую искомой плоскости Р. найдём проекции вектор лежащего в плоскости Р.

По условию вектор перпендикулярен плоскости Р, следовательно вектор перпендикулярен вектору . Используя условие перпендикулярности двух векторов получим . Представляя скалярное произведение в координатной форме получим искомое уравнение.

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0

 

Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

 

Пусть заданы три точки принадлежащие искомой плоскости Р М1(х11,z1); М2(х22,z2); М(х33,z3). (Рис. 5.2)

z

 
 

 


p

 
 

 

 


y

 

x  

 
 
Рис. 5.2  


Возьмём произвольную точку М(x,y,z) принадлежащую искомой
прямой Р.

Рассмотрим векторы:

Так как точки М1, М2, М3, М лежат в одной плоскости, то векторы - коллинеарные, следовательно их смешанное произведение равно нулю.



Представляя это произведение в координатной форме, получим искомое уравнение:

1. Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим плоскость пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Запишем уравнение этой плоскости в общем виде.

Ах+Ву+Сz+D=0

Пусть а, b, с длины отрезков отсекаемые плоскостью на осях координат (Рис. 5.3)

 
 


z

 

R

 

Q

0 y

 

P

х

Рис 5.3

 

Точка Р(0,0,0) лежит на плоскости поэтому она обращает уравнение плоскости в тождество.

аналогично точка Q(0,b,0) лежит на плоскости, из этого следует

аналогично точка R(0,0,c) лежит на плоскости.

Подставляя найденные значения коэффициентов в уравнение плоскости получим:

так как по условию D не равно нулю, то полученное уравнение можно сократить на D.

Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

 

5.2 Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть уравнения двух плоскостей заданы в виде:

А1х+В1у+С1z+D1=0

А2х+В2у+С2z+D2=0

Угол между этими плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей и может быть найден из известного выражения :

Если две плоскости перпендикулярны, то угол между векторами равен 900 отсюда следует условие перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости параллельны, то нормальные векторы параллельны и условие параллельности двух плоскостей сводится к условию колинеарности векторов .

Пусть задана точка М111,z1) и плоскость Ах+Ву+Сz+D=0. Формула расстояния от точки М1 до заданной плоскости определяется формулой:



 

5.3 Виды уравнений прямой в пространстве.

Каноническое уравнение прямой в пространстве.

 

Пусть задана точка М0(x0,y0,z0) и вектор , параллельный искомой прямой и называемой направляющим вектором прямой. (Рис. 5.4)

z

 
 

 


y

 

x

Рис. 5.4

 

На прямой возьмём произвольную точку М (x,y,z) и рассмотрим вектор . Вектор параллелен . Из условия параллельности двух векторов следует:

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.