Глава 5 Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве.
Виды уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости.
Ах+Ву+Сz+D=0
Коэффициенты А, В, С в этом уравнении определяют так называемый нормальный вектор , перпендикулярный плоскости, то есть являются его проекциями на оси декартовой системы координат . Приравнивая к нулю различные коэффициенты мы получаем частные виды общего уравнения плоскости.
а) - уравнение плоскости принимает вид: Ах+Ву+Сz=0, такая плоскость проходит через начало координат.
б) - получаем уравнение: Ву+Сz+D=0, плоскость параллельна оси ОХ. Если коэффициент D=0:
Ву+Сz=0 – то плоскость проходит через ось ОХ.
в) - получаем уравнение Ах+СZ+D=0 плоскость параллельна оси ОУ. В случае, если и коэффициент D=0:
Ах+СZ=0 – плоскость координат проходит через ось ОУ.
г) - получаем уравнение Ах+Ву+D=0 плоскость параллельна оси ОZ. В случае равенства нулю коэффициента D=0:
Ах+Ву=0 – плоскость проходит через ось ОZ.
д)
CZ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОУ
е)
AX+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости УОZ.
ж)
ВУ+D=0 – плоскость параллельна координатной плоскости ХОZ.
Уравнение плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.
Пусть задана точка и вектор (Рис. 5.1)
z
p
y
x
Рис. 5.1
Возьмем произвольную точку М (х,у,z), принадлежащую искомой плоскости Р. найдём проекции вектор лежащего в плоскости Р.
По условию вектор перпендикулярен плоскости Р, следовательно вектор перпендикулярен вектору . Используя условие перпендикулярности двух векторов получим . Представляя скалярное произведение в координатной форме получим искомое уравнение.
А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0
Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.
Пусть заданы три точки принадлежащие искомой плоскости Р М1(х1,у1,z1); М2(х2,у2,z2); М(х3,у3,z3). (Рис. 5.2)
z
p
y
Возьмём произвольную точку М(x,y,z) принадлежащую искомой прямой Р.
Рассмотрим векторы:
Так как точки М1, М2, М3, М лежат в одной плоскости, то векторы - коллинеарные, следовательно их смешанное произведение равно нулю.
Представляя это произведение в координатной форме, получим искомое уравнение:
1. Уравнение плоскости в отрезках.
Рассмотрим плоскость пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Запишем уравнение этой плоскости в общем виде.
Ах+Ву+Сz+D=0
Пусть а, b, с длины отрезков отсекаемые плоскостью на осях координат (Рис. 5.3)
z
R
Q
0 y
P
х
Рис 5.3
Точка Р(0,0,0) лежит на плоскости поэтому она обращает уравнение плоскости в тождество.
аналогично точка Q(0,b,0) лежит на плоскости, из этого следует
аналогично точка R(0,0,c) лежит на плоскости.
Подставляя найденные значения коэффициентов в уравнение плоскости получим:
так как по условию D не равно нулю, то полученное уравнение можно сократить на D.
Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
5.2 Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть уравнения двух плоскостей заданы в виде:
А1х+В1у+С1z+D1=0
А2х+В2у+С2z+D2=0
Угол между этими плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей и может быть найден из известного выражения :
Если две плоскости перпендикулярны, то угол между векторами равен 900 отсюда следует условие перпендикулярности плоскостей.
Если две плоскости параллельны, то нормальные векторы параллельны и условие параллельности двух плоскостей сводится к условию колинеарности векторов .
Пусть задана точка М1(х1,у1,z1) и плоскость Ах+Ву+Сz+D=0. Формула расстояния от точки М1 до заданной плоскости определяется формулой:
5.3 Виды уравнений прямой в пространстве.
Каноническое уравнение прямой в пространстве.
Пусть задана точка М0(x0,y0,z0) и вектор , параллельный искомой прямой и называемой направляющим вектором прямой. (Рис. 5.4)
z
y
x
Рис. 5.4
На прямой возьмём произвольную точку М (x,y,z) и рассмотрим вектор . Вектор параллелен . Из условия параллельности двух векторов следует:
Полученные уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|