Параметрические уравнения линий
Цели
Знать:
v Основные способы преобразования прямоугольных координат;
v уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.
Уметь:
v переходить от одной прямоугольной системы координат к другой;
v строить параллельно-смещённую кривую второго порядка по её уравнению.
Уравнения смещённых кривых второго порядка имеет вид:
— эллипс;
— гипербола,
где (х0; у0) — координаты центра кривой.
Уравнения смещённой параболы:
,
,
,
где (х0;у0) — координаты вершины параболы.
Теорема. Уравнение вида
всегда определяет:
- окружность (при А=С),
- эллипс (при ),
- гиперболу (при ),
- параболу (при ).
При этом возможны случаи вырождения:
- для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность),
- для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,
- для параболы — в пару параллельных прямых.
Пусть относительно системы декартовых прямоугольных координат на плоскости задана некоторая линия. Эту линию можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х; у) изменяется по закону x=x(t), а ордината — по закону y=y(t),где t — параметр, то уравнение линии записывается в виде:
(38)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.
Составить уравнение линии на плоскости в выбранной системе координат — это, значит, составить такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, которые на этой линии не лежат.
Постановка задачи:Составить уравнение линии на плоскости.
План решения:1. Выбрать на плоскости систему координат;
2. на линии, уравнение которой выводится, взять произвольную точку с координатами (х; у). Основываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составить уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.
№13. Даны точка А(1; 0) и прямая х=2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х; у) которой:
1) в два раза ближе к точке А, чем к данной прямой;
2) в два раза дальше от точки А, чем от заданной прямой;
3) равноудалена от точки А и от прямой х=2.
► 1) Пусть М — точка искомой линии (рис 13).
рис.13
По условию 2МА=МN.Отсюда, так как N(2; y), то
;
;
4х2 – 8х+4+4у2=х2 – 4х+4;
3х2 – 4х+4у2=0;
;
;
;
домножим на , имеем:
— уравнение эллипса, который смещён относительно системы координат XОY, таким образом, что центр эллипса находится в точке , точка А — совпадает с правым фокусом, х=2 — правая директриса.
2) По условию МА=2МN. Отсюда, так как N(2; y), то
;
х2 – 2х+1+у2=4х2 – 16х+16;
3х2 – 14х – у2+15=0;
;
;
домножим данное выражение на , имеем:
— уравнение гиперболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что центр гиперболы находится в точке , точка А совпадает с её левым фокусом, х=2 — левая директриса.
3) По условию МА=МN. Отсюда, так как N(2; y), то
;
х2 – 2х+1+у2=х2 – 4х+4;
у2= –2х+3;
— уравнение параболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что вершина находится в точке , точка А совпадает с фокусом, прямая х=2 — директриса. ◄
Аудиторные задания
Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:
№84. 9х2+4у2 – 54х – 32у+109=0.
Ответ: .
№85.х2 – у2 – 4х+2у+7=0.
Ответ: .
№86.х2 – 9у2+2х – 36у – 44=0.
Ответ: .
№87.у=х2+4х+5.
Ответ: (х+2)2=у – 1.
Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:
№88. Ответ: эллипс.
№89. Ответ: астроида.
Домашние задания
Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:
№90.4х2+9у2 – 8х – 36у+4=0.
Ответ: .
№91.х2 – 9у2+2х+36у – 44=0.
Ответ: .
№92.у=х2 – 5х+7.
Ответ: .
№93.х2+4у2 – 4х – 8у+8=0. Ответ: О(2; 1).
№94.х2+4у2+8у+5=0. Ответ: мнимый эллипс.
№95.х2 – у2 – 6х+10=0.
Ответ: у2 – (х – 3)2=1.
№96.х2 – 6х+8=0.
Ответ: х=2; х=4.
№97.х2+2х+5=0. Ответ: мнимые прямые.
Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:
№98. Ответ: парабола у2=9х.
№99. Ответ: гипербола .
№100. Ответ: гипербола.
№101.
Ответ: отрезок прямой, соединяющий точки А(1; 0) и В(0; 1).
Дополнительные задания
Преобразовать к каноническому виду уравнения, построить кривые, определить все характеристики полученной кривой:
№102.36х2+36у2 – 36х – 24у – 23=0.
Ответ: .
№103. .
Ответ: .
№104.16х2+25у2 – 32х+50у – 359=0.
Ответ: .
№105.у=4х2+8х+7. Ответ: 4(х+1)2=у – 3.
Построить линию, заданную параметрическими уравнениями:
№106.
Ответ: луч, направленный по биссектрисе первого координатного угла.
№107. Ответ: дуга параболы.
№108.
№109.
№110.
№111.
Занятие 5
Полярная система координат
Цели
Знать:
v Связь между полярной и прямоугольной системой координат;
v уравнения основных линий в полярной системе координат.
Уметь:
v Схематически строить линию в полярной системе координат.
Cвязь между полярными и прямоугольными координатами точки устанавливается формулами:
(39)
при этом полюс полярной системы координат О совмещен с началом координат системы XOY, а полярная ось — с положительной полуосью ОX (рис.14).
рис.14
Переход от декартовых координат к полярным координатам:
; ;
; ; . (40)
Аудиторное задание
Выполнить лабораторную работу «Построение линий в полярной системе координат».
Цель работы: приобретение навыков построения линий по уравнению в полярной системе координат.
Задание и общие указания
- Все вычисления оформляются на расчетном листе;
- кривые строятся на миллиметровой бумаге;
- при расчётах используется МК.
Инструкция к работе
№1. Построить точки в полярной системе координат:
► Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, отрицательные значения откладываются не на луче, наклонённом к полярной оси под углом , а на его продолжении за полюс (т.е. на луче, образующем с полярной осью угол ) (рис.15). ◄
рис.15
№2. Построить линии: а) ; б) ;
в) .
Провести краткое исследование формы кривой по уравнению: 1) симметрия кривой;
2) область существования кривой;
3) для построения линий в полярных координатах составить таблицу значений и ,где , выбрав шаг (n — коэффициент перед в уравнении линии).
► а) — данная линия окружность.
1) Линия симметрична относительно прямой ;
2) , достаточно рассмотреть ;
3) Составим таблицу с шагом :
По данным таблицы построим искомую линию (рис.16).
рис.16
б) — данная линия кардиоида.
1) линия симметрична относительно полярной оси;
2) , достаточно в виду симметрии кривой;
3) составим таблицу с шагом :
По данным таблицы построим искомую линию (рис.17).
рис.17
в) или — данная линия лемниската Бернулли.
1) линия симметрична относительно полюса О;
2) ; ;
3) составим таблицу с шагом :
По данным таблицы построим искомую линию (рис.18).
рис.18◄
№3. Записать уравнения линий, заданных в п.2, в декартовой системе координат.
► Используя формулы перехода от полярной системы координат к декартовой (40) имеем:
а) ;
;
х2+у2=4у;
х2+(у – 2)2=4 — уравнение смещённой окружности.
б) ;
;
— уравнение кардиоиды.
в) ;
;
;
(х2+у2)2=2ху — уравнение лемнискаты Бернулли. ◄
№4. Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:
а) у2=16+8х; б) .
►а) — уравнение параболы;
б) ;
;
— уравнение кардиоиды. ◄
Вариант 1
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .
Вариант 2
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .
Вариант 3
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) у=8х.
Вариант 4
- Построитьточки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .
Вариант 5
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ; 3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .
Вариант 6
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:
1) ; 2) х2 – 3у2 – 6х=0.
Вариант 7
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:
1) ; 2) .
Вариант 8
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ;
2) .
Вариант 9
1.Построить точки: .
2.Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
3.Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
4.Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах:
1) ; 2) .
Вариант 10
- Построить точки: .
- Построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
- Записать в декартовых координатах уравнения п.2.
- Данные уравнения линий в декартовых координатах записать в полярных координатах: 1) ; 2) .
Домашние задания
№112.В полярной системе координат построить точки: А(2; 0); В ; С ; D ; E ; F ; G ; K ; L ; M .
№113.Написать в полярных координатах уравнения линий:
1) ; 2) у – 2х=0; 3) х2+у2=2а у.
№114.Построить линии: 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
№115.Написать в декартовых координатах уравнения линий и построить линии: 1) ; 2) ;
3) .
Дополнительные задания
№116.Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах. Записать в декартовых координатах: 1) ;
2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ;
12) ; 13) .
№117.Составить в полярных координатах уравнения следующих линий:
1) прямой, перпендикулярной к полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 3;
2) прямых, параллельных полярной оси и отстоящих от неё на расстоянии 5;
3) окружности R=4 с центром на полярной оси и проходящей через полюс;
4) окружностей радиусом R=3, касающихся полярной оси в полюсе.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Кривые второго порядка»
Задание 1.Составить канонические уравнения:
а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке ;
б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом ;
в) параболы, имеющей директрису х= –3.
►а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию большая полуось, а=3, с= . Для эллипса: c2=a2 – b2, следовательно, b2=32 – =4. Искомое уравнение: ;
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию мнимая полуось b=2, c= . Для гиперболы: c2=a2+b2, следовательно, а2=с2 – b2= – 22=9. Искомое уравнение гиперболы: .
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид у2=2 р х, уравнение её директрисы , но по условию задачи уравнение директрисы х= – 3, поэтому ; р=6. Искомое каноническое уравнение параболы имеет вид: у2=12х. ◄
Задание 2.Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса х2+4у2=4 и имеющей центр в его верхней вершине.
► Для данного эллипса верхняя вершина А(0; 1), а=2, b=1. Поэтому с= = = . Таким образом, фокусы находятся в точках F1(– ;0), F2( ;0).
Радиус искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:
R=|AF1|=|AF2|= = =2.
В соответствии с уравнением (15) записываем искомое уравнение окружности:
(х – 0)2+(у – 1)2=22 или х2+(у – 1)2=4.◄
Задание 3.Составить уравнение линии, каждая точка М которой отстоит от точки А(3; 2) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В(–1; 0).
► Пусть М(х; у) — любая точка искомой линии (рис.19).
рис.19
Тогда по условию задачи |AM|=3|BM|. Т.к. |AM|= , |BM|= , то уравнение искомой линии:
=3 .
Преобразуем его, возведя обе части в квадрат. Имеем:
х2 – 6х+9+у2 – 4у+4=9х2+18х+9+9у2,
8х2+24х+8у2+4у – 4=0.
Выделив полные квадраты в последнем уравнении, придём к уравнению вида:
,
которое является уравнением окружности с центром в точке и радиусом R= . ◄
Задание 4.Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах .
► Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла и соответствующие им значения полярного радиуса :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,6
|
|
|
| 7,4
|
| 1,2
|
| 1,2
|
| 6,8
|
| 6,8
|
| 0,6
|
|
|
| 7,4
|
|
|
Построив найденные точки в полярной системе координат и соединив их плавной линией, получим кардиоиду. ◄
Задание 5. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:
► Выберем достаточное количество значений параметра t, вычислим соответствующие значения х, у. Построим соответствующие точки в декартовых координатах. Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями а=3, b=2 и центром в точке С(1; 2). Для строго доказательства того, что данные параметрические уравнения определяют эллипс с указанными осями и центром, избавимся от параметра t:
Возведём в квадрат оба уравнения системы и сложим их, откуда
. ◄
Контрольные вопросы
Метод координат на плоскости
1. В каких четвертях могут быть расположены точки М(х; у), если:
a) x y>0;
b) x y<0;
c) y=0;
d) x – y>0;
f) x+y=0?
2. Точки А(х1; у1) и В(х2; у2) служат смежными вершинами ромба, диагонали которого параллельны осям координат. Как выразить координаты остальных вершин через координаты данных точек?
3. Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на ось ОХ ? на ось ОY?
Уравнения прямой на плоскости
- Проходит ли прямая 3х – 2у=0 через: а) начало координат; б) вторую четверть?
- Всякая ли прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида: а) ax+by+c=0; б) y=kx+1?
- Верно ли, что уравнение ax+by+c=0 всегда является уравнением некоторой прямой?
- При каких значениях p прямая
а) параллельна оси OY; б) проходит через начало координат?
- Может ли угол наклона прямой к оси ОX равняться:
а) ; б) ?
- При каком значении k прямая y=kx+b:
а) параллельна оси ОX; б) под углом ?
- 7. При каком значении b прямая y=kx+b: а) проходит через начало координат; б) пересекает ось в точке с ординатой –5?
- Какой геометрический смысл имеют коэффициенты k и b в уравнении y=kx+b?
- Верно ли, что прямые y=3x – 2 и y= –3x+2:
а) параллельны; б) перпендикулярны?
- Что можно сказать об угловых коэффициентах:
а) пересекающихся прямых; б) параллельных прямых?
- Каково взаимное расположение двух прямых:
а) имеющих одинаковые угловые коэффициенты и общую точку; б) угловые коэффициенты которых не равны.
- Доказать, что условие принадлежности трёх точек М1(х1; у1), М2(х2; у2), М3(х3; у3)одной прямой можно записать в виде .
- Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и В, чтобы прямая Ax+By+C=0 была отклонена к оси ОX под углом ?
- При каком значении k прямая x+y+k2-2k+1=0 проходит через начало координат?
- Прямая y=3x+b пересекает ось ОX в точке с абсциссой а=4. Чему равен параметр b?
- Является ли уравнение уравнением прямой в отрезках? Какие отрезки отсекает она на осях координат?
- Можно ли подобрать коэффициенты и так, чтобы прямые 5х – 3у+1=0 и совпадали?
- Какой угол образует прямая с положительным направлением оси ОY? оси ОX?
- Какая должна быть зависимость между коэффициентами a и b, чтобы прямая образовывала с осью ОY угол
- Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b, чтобы прямые ax+by+1=0, x – y+5=0и y=1 проходили через одну точку?
- При каком значении α прямые и взаимно перпендикулярны?
Кривые второго порядка
- Какие из следующих уравнений являются уравнениями эллипсов: а) ; б) ;
в) ; г) ; д.) ;
е.) ?
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|