Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Цели

Знать:

v Основные определения, связанные с методом координат на плоскости;

v основные приложения метода координат на плоскости.

Уметь:

v Составлять уравнение линии в прямоугольной системе координат по заданному её свойству.

▼Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. ▲

▼ Прямоугольная система координат ХОУ задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают ОХ, другую — осью ординат и обозначают ОY. ▲

Координаты точки М записывают так: М(х; у); при этом число х называется — абсциссой точки М, а число у — ординатой точки М.

▼ Расстояние между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) на плоскости вычисляется по формуле:

(1). ▲

▼ Координаты (х; у) точки М, делящей в заданном отношении отрезок АВ, где А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂), находятся по формулам:

(2). ▲

В частности, при (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы координат середины отрезка:

.

▼ Площадь треугольника с вершинами А(х₁; у₁), В(х₂; у₂), С(х₃; у₃) вычисляется по формуле:

(3)

или

, где .▲

№1. Найти точку, симметричную точке А(–2; 4) относительно биссектрисы первого координатного угла.

► Проведём через точку А прямую l₁, перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l₁ отложим отрезок СА₁, равный отрезку АС (рис. 1).

рис.1

Прямоугольные треугольники АСО и А₁СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |OA|=|OA₁|. Треугольники ADO и OEA₁ также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD|=|OE|=4, |OD|=|EA₁|=2, т.е. точка А₁ имеет координаты х=4, у= –2, т.е. А₁(4; –2).◄

№2.В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3), С(6; –5) найти длину биссектрисы ВМ.

►По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем: .

Найдём, используя формулу (1) длины сторон ВС и ВА треугольника АВС:

, .

Следовательно,

= .

Найдем, используя формулу (2) координаты точки М:

, , т.е. .

Найдём длину биссектрисы ВМ:

,

т.е. . ◄

Задачи для самостоятельного решения

№1. Дана точка А(3; –2). Найти координаты точек, симметричных точке А относительно оси ОX, оси ОY, начала координат.

Ответ: (3; 2); (–3; –2); (–3; 2).

№2. Найти координаты точки, симметричной точке А(2; 4) относительно биссектрисы: 1) второго и четвёртого координатных углов; 2) первого и третьего координатных углов.

Ответ: (4; –2); (4; 2).

№3. Точки А(2; 4), В(–3; 7) и С(–6; 6) — три вершины параллелограмма, причём А и С — противоположные вершины. Найти четвёртую вершину.

Ответ: (–1; 3).

№4. Дан треугольник с вершинами А(–2; 4), В(–6; 8), С(5; –6). Найти площадь этого треугольника.

Ответ: 6 кв.ед.

№5. На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А(3; –8) на расстоянии 5 единиц.

Ответ: (0; –4) и (0; –12).

№6. Отрезок с концами А(1; –5) и В(4; 3) разделён на три равные части. Найти координаты точек деления.

Ответ: ; .

№7. Найти координаты точки, одинаково удалённой от осей координат и от координаты точки А(1; 8).

Ответ: (5; 5), (13; 13).

№8. Даны вершины треугольника: А(7; 2), В(1; 9), С(–8; –11). Найти расстояние от точки О пересечения медиан треугольника до вершины В.

Ответ: .

№9. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках А(3; 5) и С(1; –3). Найдите его площадь.

Ответ: 34 кв.ед.

№10. Найти площадь четырёхугольника с вершинами А(–3; 2), В(3; 4), С(6; 1), D(5; –2).

Ответ: 20 кв.ед.

Занятие 2

Различные виды уравнения прямой на плоскости

Цели

Знать:

v Различные формы записи уравнения прямой на плоскости;

v условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Уметь:

v Составлять по заданным условиям уравнение прямой;

v переходить от одного вида уравнения к другому;

v находить связь между коэффициентами общего уравнения прямой и взаимным расположением прямых.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

у=kx+b, (4)

где k — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси ОX, ); b — ордината точки пересечения прямой с осью ОY.

2. Общее уравнение прямой

Ах+Ву+С=0, (5)

где А, В и С — постоянные коэффициенты, причём А и В одновременно не обращаются в нуль (т.е. ).

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀) в данном направлении

, (6)

где k=tg ( — угол, образуемый этой прямой с осью ОX,); (х₀; у₀) — координаты данной точки.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых и

, (7)

где , принимают всевозможные действительные значения.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂; у₂), где ,

. (8)

Угловой коэффициент этой прямой определяется по формуле:

. (9)

5. Уравнение прямой в отрезках на осях

, (10)

где a, b — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.

6. Нормальное уравнение прямой

, (11)

где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, — угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох (рис.2).

рис.2

Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми.

Если прямые l₁и l₂заданы уравнениями с угловыми коэффициентами ; или уравнениями в общем виде ; , то угол между ними вычисляется по формуле:

, (12)

Расстояние d от точки М₀(х₀; у₀) до прямой Ax+By+C=0вычисляется по формуле:

(13).

№3. Найти уравнение прямой, образующей с ось ОX угол и пересекающей ось ОY в точке (0; 5). Выяснить, проходит ли эта прямая через точки А(2; 3) и В(2; –3). Построить прямую.

► Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, b=5, угловой коэффициент k=tg = –1. Следовательно, уравнение прямой с угловым коэффициентом:

у= –х+5.

Подставляя в искомое уравнение прямой координаты точки А вместо текущих координат, получим 3= –2+5, т.е. 3=3. Т.к. координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой, то прямая проходит через эту точку.

Подставляя в уравнение координаты точки В, получим . Координаты точки В не удовлетворяют уравнению, следовательно, прямая не проходит через точку В.

Положение прямой определяется двумя точками, принадлежащими ей. Для построения прямой по ее уравнению следует:

1) найти любые две точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению;

2) построить их;

3) через полученные точки провести прямую.

Уравнение данной прямой содержит свободный член, следовательно, эта прямая пересекает оси координат.

Найдём точки пересечения прямой с осями координат и проведём через них прямую. Запишем это в виде таблицы:

рис.3

Получили точки С(0; 5) и D(5; 0). Построим эти точки и проведём через них искомую прямую (рис.3). ◄

№4. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, зная, что прямая проходит через точки М(2; –1) и Р(–1; 8).

► Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки (8) подставляя в уравнение вместо х₁, у₁, х₂, у₂ координаты точек М и Р, получаем:

,

отсюда

или у= –3х+5.

Искомое уравнение мы привели к уравнению с угловым коэффициентом, т.е. к уравнению вида у=kx+b. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой k= –3 и начальная ордината b=5.

Угловой коэффициент можно найти также по формуле (9) . ◄

№5. Дан треугольник с вершинами А(4; 6), В( –3; 0), С(2; –3). Найти углы треугольника, уравнения биссектрисы AD, высоты СЕ и точку их пересечения (рис.4).

► Угловые коэффициенты прямых АВ, ВС, АС найдём по формуле (9). Следовательно,

;

;

.

рис.4

Теперь найдём углы треугольника, воспользовавшись формулой (8). Имеем:

, ÐA=arctg 0,75;

, ÐВ=arctg 3;

, ÐC=arctg 3.

Следовательно — равнобедренный.

Для нахождения уравнения биссектрисы угла А напишем уравнения сторон АВ и АС данного треугольника. Уравнение прямой АВ:

или 6х – 7у+18=0.

Уравнение прямой АС:

или 9х – 2у – 24=0.

Пусть точка М(х; у) лежит на биссектрисе AD (х и у — текущие координаты биссектрисы), тогда она будет одинаково удалена от сторон АВ и АС угла А.

Расстояние d₁от точки М(х; у) до стороны АВ можно записать так: d₁= , аналогично расстояние d₂= (расстояние от точки М(х; у) до стороны АС.

Так как точки В и С лежат по разные стороны относительно биссектрисы AD, то d₁= – d₂. Следовательно, уравнение биссектрисы AD:

или 5х – 3у – 2=0.

Теперь напишем уравнение прямой СЕ. По условию прямая СЕ перпендикулярна к прямой АВ, следовательно, , т.е. . Учитывая, что прямая СЕ проходит через точку С(2; –3), напишем искомое уравнение:

или 7х+6у+4=0.

Найдём точку пересечения F прямых AD и CE. Для этого решим систему уравнений:

х=0; . Следовательно, искомая точка . ◄

Аудиторные задания

№11. Построить прямую 2x –3y – 9=0 (тремя способами).

№12. Даны вершины треугольника А(–1; 3); В(3; –2) и С(5; 3) составить уравнения:

а) трёх его сторон;

б) медианы, проведённой из точки В;

в) высоты, опущенной из точки С на АВ;

г) прямых проходящих через вершины треугольника и параллельных противоположным сторонам.

Ответ: а) 5x+4y – 7=0; 5x – 2y – 19=0; y – 3=0;

б) 5x+y – 13=0; в) 4x – 5y – 5=0;

г) 5x – 2y+11=0; y+2=0; 5x+4y – 37=0.

№13. Через т. М(2; 5) провести прямую так, чтобы отрезок, заключённый между осями координат, делился в этой точке пополам.

Ответ: 10x+4y – 40=0.

№14. Даны стороны треугольника АВ: x+3y – 7=0; ВС:

4x – y – 2=0; АС: 6x+8y – 35=0. Найти длину высоты, проведённой из вершины В.

Ответ:1,3.

№15. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей угол 45⁰ с прямой y=2x+5.

Ответ: 3x+y=0.

№16. Найти уравнение прямой, параллельной прямой

12x+5y – 52=0 и отстоящей от неё на расстоянии 2ед.

Ответ: 12x+5y – 26=0; 12x+5y – 78=0.

№17. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3x – 4y+5=0 и 4x+3y –7=0 и одна из его вершин А(–2; 1). Найти уравнения двух других сторон прямоугольника.

Ответ:3x – 4y+10=0; 4x+3y+5=0.

№18. Даны точки А(–6; 0) и В(0; 8). Через середину отрезка АВ провести прямую отсекающую на оси ОХ отрезок втрое больший, чем на оси OY.

Ответ: x+3y – 9=0.

№19. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x –2y – 7=0. Вычислить площадь квадрата.

Ответ: 5кв.ед.

Домашние задания

№20. По данным уравнениям построить прямые (тремя способами): а) 2x – y+3=0; б) 5x+2y – 8=0; в) 3x+8y+16=0;

г) 3x – y=0.

№21. Найти точки пересечения прямых:

а) 3x – 5y – 21=0 и 2x – y – 7=0; б) x+3y – 5=0 и 3x+9y+7=0.

Ответ: а) (2; –3); б) прямые параллельны.

№22. Из пучка прямых, определяемых уравнением y+3=k(x – 2) выделить прямую, проходящую через точку А(–2; 5).

Ответ: 2x+y – 1=0.

№23. Даны две вершины треугольника А(–2; 1) и В(3; –4) и точка Н(5; –1) пересечение высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

Ответ: x+y+1=0; 7x – 2y – 29=0; 2x+3y+1=0.

№24. Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до начала координат равно , а угол между перпендикуляром, опущенном из начала координат на прямую, и осью ОХ равен .

Ответ: х – у+2=0.

№25. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(10; –6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью 15 кв.ед.

Ответ: 6x+5y–30=0 и 3x+10y+30=0.

№26. Через точку М(3; 5) провести прямую, отсекающую на всех осях координат отрезки равной величины.

Ответ: x+y – 8=0.

№27. Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из стон которого лежит на прямой х – 2у – 7=0. Найти площадь этого квадрата.

Ответ: 5 кв.ед.

№28. Даны две вершины треугольника А(2; –2), В( –6; 2) и точка О(1; 2) пересечения высот. Найти координаты третьей вершины С.

Ответ: (2; 4).

Дополнительные задания

№29. Вычислить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой 2x+7y – 14=0.

Ответ: 7 кв.ед.

№30. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

М(5; –4) перпендикулярно прямой 3x+2y – 7=0.

Ответ:2x – 3у – 22=0.

№31. Прямая задана уравнением: 5x+y – 4=0. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; –2) и наклонённую к данной под углом 45 .

Ответ: 2x+3y+4=0 или 3х – 2y – 7=0.

№32. Определить расстояние между параллельными прямыми 3x+y – 3 =0; 6x+2y+5 =0. Ответ: .

№33. Прямая задана уравнением 2x+5y – 1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М( –1;3) и: а) параллельно данной; б) перпендикулярно данной.

Ответ: 2x+5y – 13=0; 5x – 2y+11=0.

№34. Даны середины сторон треугольника P(1; 2), Q(5; –1), R( –4; 3). Составить уравнения его сторон.

Ответ: 4x+9y –22=0; x+5y=0; 3x+4y=0.

№35. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1) и параллельно прямой y=3x – 4.

Ответ:3x – у –5=0.

№36. Дан треугольник с координатами вершин А(1; 2); В(4; 3); С(1; 3). Составить уравнения сторон.

Ответ: x – 3y+5=0; y=3; x=1.

№37. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и наклонённых к оси ОХ под углом: а) 30 ; б)45 ; в)60 ; г)90 .

Ответ: а) ; б) y=x; в) y= ; г) x=0.

№38. Найти точку, симметричную точке А(1; 7) относительно прямой 2x – 5y+4=0.

Ответ: (5; –3).

№39. Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями: x –3y+11=0; 5x+2y – 13=0; 9x+7y – 3=0.

Ответ: 17 кв.ед.

№40. Даны уравнения сторон треугольника 4x – 3y – 9=0; 3x+4y+12=0; x – 2y+4=0. Определить координаты вершин треугольника.

Ответ: (0; –3); ( –4;0); (6; 5).

№41. Дан треугольник координатами вершин А( –8; 3); В(8; 5); С(8; –5). Составить уравнения высот и показать, что они пересекаются в одной точке.

Ответ: 8x+y – 59=0; 2x – y – 11=0; y – 3=0; A(7; 3).

№42. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных своими уравнениями: 4x – 3y+3=0; 3x+4y+4=0; x – 7y+18=0.

Ответ: 90⁰; 45⁰; 45⁰.

№43. Даны две стороны параллелограмма x – y+1=0;

3x+2y –12=0 и точка O(6; 4) — пересечение диагоналей. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

Ответ: x – y – 5=0; 3x+2y – 40=0.

№44. Составить уравнения прямых, проведённых через середины сторон треугольника с вершинами А(3; 4); В(3; 2); С( –1; 2).

Ответ: x – 2y+3=0; x=1; y=3.

№45. Написать уравнения сторон и высоты треугольника с вершинами P( –4; 3); Q(2; 5); R(6; –2).

Ответ: y= x+ ; y= x+ ; y= x+1; y= .

№46. Записать уравнения прямых, на которых лежат стороны равнобедренной трапеции, зная, что основания её равны 10 и 6, а боковые стороны образуют с большим основанием угол в 60⁰. Большее основание лежит на оси абсцисс, а ось симметрии трапеции — на оси ординат.

Ответ: y=0; y=2 ; y= x+5 ; y= – x+5 .

№47. Записать уравнения прямых, которые проходят через точку А(3; –1) и параллельны: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного угла; г) прямой y=3x+9.

Ответ: y= –1; x=3; y=x – 4; y=3x – 10.

№48. Луч света направлен по прямой . Найти координаты точки М встречи луча с осью ОХ и уравнение отражённого луча.

Ответ: M(6; 0); .

№49. Точка А( –2; 3) лежит на прямой, перпендикулярной к прямой 2x – 3y+8=0. Записать уравнение этой прямой.

Ответ: 3x+2y=0.

№50. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у – 65=0 и 5х – 12у+26=0. Найти площадь квадрата.

Ответ: 49 кв.ед.

№51. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

М(4; –3) и образующей с осями координат треугольник площадью 3 кв.ед.

Ответ: или .

№52. Вычислить величину угла между прямыми 3x+4y – 2=0 и 8x+6y+5=0. Доказать, что точка А лежит на биссектрисе этого угла.

№53. Найти длины сторон треугольника и его внутренние углы, если известно, что стороны лежат на прямых: x – 6y+5=0; 5x – 2y – 3=0; x+y – 9=0.

Замечание. Если: c²>a²+b² — тупоугольный; c²=a²+b² — прямоугольный; c²<a²+b² — остроугольный.

Ответ: АВ= ; ВС= ; АС= ;

tgA= ; tgB= ; tgC= .

Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Прямая на плоскости»

Задание 1.Даны вершины треугольника АВС: А(4; 3), В( –3; –3), С(2; 7). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

е) расстояние от точки С до прямой АВ.

► а) Прямая проходит через две точки А(4; 3) и В( –3; –3), воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (8), получим уравнение стороны АВ:

, откуда

6(х – 4)=7(у – 3) или 6х – 7у – 3=0;

б) Угловой коэффициент прямой АВ: k_АВ= . С учётом условия перпендикулярности прямых АВ и СН угловой коэффициент высоты СН: k_СН = .

Составим уравнение высоты СН , проходящей через точку С(2; 7) с угловым коэффициентом , воспользуемся формулой (6):

у – 7= (х – 2) или 7х+6у – 56=0;

в) Найдём координаты точки М — середины отрезка ВС:

; , т.е .

Теперь по двум известным точкам А и М составляем уравнение медианы АМ:

или 2х – 9у+19=0;

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений:

Решая систему, получаем х= , у= , т.е. ;

д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны k_CD = k_AB = . Тогда используя формулу (6), уравнение прямой СD имеет вид:

у – 7= (х –2) или 6х – 7у+37=0;

е) расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле (13):

d=|CH|= .

рис.5

Решение задачи проиллюстрировано на рисунке 5. ◄

Задание 2.Известны вершины О(0; 0), А( –2; 0) параллелограмма АОСD и точка пересечения его диагоналей В(2; –2). Записать уравнения сторон параллелограмма.

► Уравнение стороны ОА можно записать сразу: у=0. Так как точка В является серединой диагонали AD, то по формулам деления отрезка пополам можно вычислить координаты вершины D(x; y):

; ,

откуда х=6, у= –4.

Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон. Учитывая параллельность сторон ОА и СD, составляем уравнение стороны CD: y= –4.

Уравнение стороны OD составляем по двум известным точкам:

или 2х+3у=0.

Уравнение стороны АС находим, учитывая, что она проходит через известную точку А( –2; 0) параллельно известной прямой OD:

у – 0= (x+2) или 2х+3у+4=0. ◄

Занятие 3

Кривые второго порядка

Цели

Знать:

v Определения основных кривых второго порядка и их канонические уравнения;

v определение фокусов, фокусного расстояния, директрис и эксцентриситета линий второго порядка;

Уметь:

v Определять по каноническому уравнению вид кривой второго порядка;

v по заданному каноническому уравнению находить все числовые характеристики линий второго порядка;

v строить кривые второго порядка по каноническому уравнению.

▼ Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени

, (14)

называются кривыми второго порядка. ▲

Эллипс

▼ Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 6 а, б).

Каноническое уравнение эллипса:

, (15)

где а=ОА₁=ОА₂ — длина большой полуоси; b=OB₁=ОВ₂ — длина малой полуоси. ▲

а) б)

рис.6

А₁(–а; 0), А₂(а; 0), В₁(0; –b), B₂(0; b) — вершины эллипса; F₁ и F₂ — фокусы эллипса (левый и правый), расстояние между фокусами F₁F₂=2с — фокусное расстояние.

Зависимость между параметрами a, b и c выражается соотношением:

a² – b²=c².

• если a>b, координаты фокусов F₁(–c;0), F₂(c;0), где (рис.6 а), тогда

эксцентриситет эллипса:

(16.а);

уравнение директрис эллипса:

(17.а).

• если a<b, координаты фокусов F₁(0; –с), F₂(0; с), где (рис.6 б), тогда

эксцентриситет эллипса:

(16.б);

уравнение директрис эллипса:

(17.б).

Фокальные радиусы эллипса:

. (18).

2. Окружность

▼ Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности (рис.7);

Каноническое уравнение окружности:

(19). ▲

рис.7

3. Гипербола

▼ Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают через 2а) (рис. 8 а, б).

Каноническое уравнение гиперболы:

, (20)

где а — длина действительной полуоси; b —длина мнимой полуоси. ▲

а) б)

рис. 8

А₁(а; 0) и А₂(–а; 0) — вершины гиперболы; отрезок А₁А₂=2а — вещественная осью гиперболы; b — мнимая полуось, F₁(–c; 0), F₂(c; 0) — координаты фокусов гиперболы, F₁F₂=2c — расстояние между фокусами гиперболы.

Зависимость между параметрами a, b и с выражается соотношением:

с²=a²+b².

Уравнение асимптот гиперболы: .

Эксцентриситет гиперболы: .

Уравнения директрис: .

Фокальные радиусы: .

Две гиперболы и называются сопряженными, если они имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот.

Парабола

▼ Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (рис.9).

Каноническое уравнение параболы

у²=2рх, (22)

р — расстояние от фокуса F до директрисы (p>0). ▲

рис.9

вершина параболы — начало координат, ось симметрии — ось абсцисс, — фокус параболы.

Уравнение директрисы: .

Фокальный радиус: .

Эксцентриситет параболы =1.

Различные виды парабол

v Парабола симметрична относительно оси ОХ и направлена в её отрицательном направлении (рис.10)

у²= – 2 р х, (p>0) (23)

координаты фокуса ; уравнение директрисы .

v Парабола симметрична относительно оси ОY и направлена в её положительном направлении (рис.11)

х²=2 р у,(p>0) (24)

координаты фокуса , уравнение директрисы .

v Парабола симметрична относительно оси ОY и направлена в отрицательном направлении (рис.12)

х²= –2 р у, (p>0). (25)

координаты фокуса , уравнение директрисы .

рис. 10 рис.11 рис.12

№6.Написать уравнение окружности с центром в точке С(–2; 3) и радиусом R=5.

► По условию a= –2, b=3, R=5, следовательно, по формуле (15) получаем искомое уравнение окружности:

(х+2)²+(у–3)²=25, или х²+у²+4х–6у–12=0. ◄

№7.Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 4х²+9у²=16.

► Разделив на 16 обе части уравнения, получим каноническое уравнение эллипса:

или .

Сравнивая это уравнение с (16), находим: а² = 4; a=2; b²= ; b= ; = , следовательно, фокусы имеют координаты , , тогда эксцентриситет равен: . ◄

№8. На эллипсе 16х²+25у²=400 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса.

► Разделив обе части уравнения на 400, находим каноническое уравнение эллипса:

,

откуда a²=25, a=5, b²=16, b=4, c²=25 – 16=9, c=3, .

В силу формулы (18) расстояния до фокусов выразятся так: . По условию r₁=4r₂, следовательно, , откуда х=5.

Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим у=0, следовательно, искомая точка М(5; 0).◄

№9. Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами её равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: