Общая теория кривых второго порядка
Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка
в следующем виде:
(1)
Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1).
Введем некоторые определения.
Группу слагаемых a11x2+2а21xy+а22у2 назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а13х+2а23у+а33 назовем линейной частью уравнения (1).
Коэффициенты а11, a12, а22 назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а13, а23, а33 — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами . Отметим, что коэффициент а33 также называется свободным членом уравнения (1).
Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х0,у0), Тогда, как известно, х=х'+х0, у=у'+у0 и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:
Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:
(2)
Тогда уравнение (*) примет вид:
(3)
Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2).
Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.
х=х'соsφ-y'sinφ;
y=x'sinφ+y'cosφ;
Получим:
Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:
где
, т.е.
a'13=a13cosφ+a23cosφ
a'23=a23cosφ-a13sinφ (4)
a'33=a33
Вывод: старшие коэффициенты а'11, а'12 и а'22 , выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а11, а12 и а22. Коэффициенты а'13 и а'23 выражаются только через угол φ и коэффициенты а13, а23. Коэффициенты а'33 и а33 равны.
Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения:
.
Тогда
,
если А 0 . Введем угол α, где
,
Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22).
Введем также угол β, считая
, ,
если С 0 . Если же С=0, т.е. а13=а23=0, то β=0 .
Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:
a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α);
a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (5)
a'23= Ссоз(φ+β); а'33=а33.
Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.
Инварианты кривой второго порядка
Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция
f(а11, а12, a22, a13, а23, а33),
которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).
Теорема. Величины
(6)
являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.
Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что
(7)
Тогда в новой системе координат O’X’Y’
Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,
умноженную на у0. Тогда
Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3.
Рассмотрим теперь преобразование поворота
Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим:
=
(8)
Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
(9)
(10)
(11)
Следовательно, из (8) следует, что
(12)
Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана.
Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3.
Будем говорить, что
при I2>О, уравнение (1) задает линию эллиптического типа;
при I2<О, уравнение (1) задает линии гиперболического типа;
при I2=О, уравнение (1) задает линии параболического типа.
При параллельном переносе можно попытаться добиться того,
чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система
(13)
имеет решение.
Уравнения (13) называются уравнениями центра линии второго порядка. Если х0, у0 — решение (13), то точка 0'(х0,у0) — центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид
(14)
Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии.
Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем
.
Значит,
(15)
Как было показано ранее, можно повернуть систему координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (3) не содержало
члена 2а'12х'у'. Ясно, что в этом случае а'12=0 и из формул (4) следует, что
Следовательно, при а12 0
(16)
Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:
(17)
Вывод:путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)
путем поворота, если а12 О, приводим уравнение (14) к виду:
(17)
в системе координат О"Х"У".
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|