Координаты в пространстве.

Определение. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами , , соответственно. Тогда четверка (0, , , ) называется афинным репером, или афинной системой координат в пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы , , - базисные векторы.

Так как векторы , , - линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

= x +y +z

Числа x, y, z называются координатами точки М (записывается: М (х,у,z)), называется радиус-вектором точки М с координатами х, у, z (записывается: = (х,у,z)), причем х называется абсциссой, у - ординатой, z - аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называют координатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых координатными октантами.

Если упорядоченная тройка векторов , , является правой, то афинную систему называют правой, в противном случае - левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы , , попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называется декартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно .

В частности, если даны точки А (х₁,у₁,z₁), В (х₂,у₂,z₂), то

Векторы = (х₁,у₁,z₁) и = (х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

= (х₁,у₁,z₁), = (х₂,у₂,z₂). Тогда

∙ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

В частности

Если даны точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂), то, как известно, =(x₂-х₁,y₂-у₁,z₂-z₁) и значит.

-формула расстояния между двумя точками.

Так как , то

и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

х₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.

Определители второго и третьего порядков

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента а_ij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:

Легко проверить, что

=

- разложение определителя по элементам первой строки.

Векторное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (x₁,y₁,z₁), = (x₂,у₂,z₂). Тогда

´

Последнее равенство можно записать так:

Итак,

Тогда

Смешанное произведение векторов в координатной форме.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (х₁,у₁,z₁), = (x₂,y₂,z₂) и = (x₃,y₃,z₃). Тогда

Отсюда следует, что векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

=0

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называется полярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

Так как х² + у² = r², то

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: