Достоинства и недостатки метода Адамса

Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать . Для начала расчета по формуле (1.3) надо знать величину решения в четырех точках . Поэтому надо вычислить недостающие значения каким-либо другим методом, например методом Рунге – Кутта, или разложением по формуле Тейлора с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Кроме того, формулы (1.3) громоздки, а несложные формулы (1.4) рассчитаны только на постоянный шаг и требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (1.3), сделать по ним четыре шага и снова вернуться к формулам (1.4). Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.

Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять , которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге – Кутта того же порядка точности вычисляется за шаг четыре раза, но шаг можно брать в несколько раз больше, т.е. вычислять за меньшее количество раз, чем в методе Адамса.

Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге – Кутта.

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса

Метод Адамса применяется как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для их систем.

Постановка задачи

Методом Адамса найти решение системы уравнений на отрезке с точностью

где – заданные константы

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса

В данную систему уравнений подставим значения коэффициентов и начальные условия. Получим

адамс дифференциальный уравнение результат

Методом Адамса найдем решение этой системы на заданном отрезке. Для этого вычислим методом Рунге-Кутта несколько начальных значений функции.

Выберем шаг и, для краткости, введем и

Рассмотрим числа:

Согласно методу Рунге-Кутта последовательные значения определяются по формуле

где

. (2.1)

Подставив в эти формулы начальные значения получим

Дальше вычисления продолжаем по методу Адамса. Все расчеты записываем в таблицах 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1

				0,8000	0,0893	-0,0711	0,0636	-2		1,1000	0,1002	-0,1162	0,1040
	0,1	3,3672		0,8893	0,0183	-0,0075	0,0680	-2,1586		1,2002	-0,0160	-0,0122	-0,3354
	0,2	3,4944		0,9076	0,0108	0,0605	0,0512	-2,0867		1,1841	-0,0282	-0,3476	0,7024
	0,3	3,5964	0,9445	0,9183	0,0713	0,1117	-0,1448	-1,9906	1,1757	1,1559	-0,3758	0,3548	-0,6647
	0,4	4,5409	1,0761	0,9897	0,1831	-0,0330	0,1605	-0,8149	0,3215	0,7801	-0,0210	-0,3099	0,8201
	0,5	5,6169	1,3300	1,1727	0,1500	0,1275	-0,1562	-0,4934	1,1598	0,7590	-0,3309	0,5102	-0,9910
	0,6	6,9469	1,3297	1,3227	0,2775	-0,0288	0,2023	0,6664	-0,1157	0,4281	0,1793	-0,4809	1,1396
	0,7	8,2766	1,8523	1,6003	0,2488	0,1735	-0,2240	0,5507	1,2171	0,6074	-0,3016	0,6587	-1,3700
	0,8	10,1290	1,9028	1,8490	0,4223	-0,0505		1,7678	-0,4170	0,3058	0,3571	-0,7113
	0,9	12,0318	2,6306	2,2713	0,3718			1,3508	1,5432	0,6629	-0,3542
		14,6623	2,7239	2,6431				2,8940	-0,6786	0,3086

Таблица 2.2

				-2
	0,1	3,3672	8,893	-2,1586	12,0016
	0,2	3,4944	9,0755	-2,0867	11,8412
	0,3	3,5964	9,1834	-1,9906	11,5588
	0,4	4,5409	9,8967	-0,8149	7,8005
	0,5	5,6169	11,7272	-0,4934	7,5905
	0,6	6,9469	13,2274	0,6664	4,2813
	0,7	8,2766	16,0025	0,5507	6,0738
	0,8	10,129	18,4902	1,7678	3,0578
	0,9	12,0318	22,7128	1,3508	6,6286

Полученные по формуле (1.3) значения необходимо уточнить, рассчитав их по формуле (1.4). Полученные данные запишем в таблицу.

Таблица 2.3

	0,1
	0,2
	0,3	0,9445	0,946075	1,1757	1,010942
	0,4	1,0761	1,069808	0,3215	0,710767
	0,5	1,3300	1,256483	1,1598	0,647071
	0,6	1,3297	1,444138	-0,1157	0,441063
	0,7	1,8523	1,733608	1,2171	0,537967
	0,8	1,9028	2,037263	-0,4170	0,381975
	0,9	2,6306	2,470742	1,5432	0,602158
		2,7239	2,6431	-0,6786	0,3086

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений точным методом

Для решения системы выразим из первого уравнения

.

Находим производную функции

.

Подставим полученное значение по второе уравнение

.

Заменим это уравнение на параметрическое и решим его. Получим корни уравнения

Общее решение имеет вид

Учитывая начальные условия система принимает вид

Решив систему получим

Подставив полученные значения в общее решение системы получим

Сравнение результатов решения

Описание программы

Описание реализации пунктов алгоритма и руководство для пользователя

Дана система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями и отрезок отделения корня. Перед началом работы в соответствующие поля на форме необходимо ввести недостающие коэффициенты и запустить программу.

Программа начинает работу с расчета начальных значений функции по методу Рунге-Кутта и, подставив их в уравнения метода Адамса, производит последующие вычисления. После расчетов значений функции в соответствующих точках производиться уточнение полученных данных.

В результате вычислений на форме программы появляются заполненные таблицы с расчетами

Блок-схема

Результаты тестирования

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: