Механический и геометрический смысл производной. Связь непрерывности и дефференцируемости.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f (x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемоеприращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) f ( x0) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x0называется предел:
Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 . Производная функции f ( x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f (x0) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0) имеет вид:
y = f ’( x0) · x + b .
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0) = f ’( x0) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0) – f ’( x0) · x0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f ( x0) + f ’( x0) · ( x – x0) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:va = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение х. Функция получит приращение у. Найдем .
.
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.
Пример. у=|х| , х0=0.
Y
0 X
х>0, ;
х<0, .
В точке х0=0функция непрерывна, но производной не существует.
Производная сумы, разности, производная, дроби,сложной и обратной функции.
Правила вычисления производных
Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда
1. Константу можно выносить за знак производной.
Пример
2. Производная суммы/разности.
Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.
Пример
Производная произведения.
Пример
Производная частного.
Пример
. Производная сложной функции.
Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .
и имеют производные соответственно в точках и . Тогда
Теорема
(О производной обратной функции)
Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, то обратная функция имеет производную в точке , причем .
Производные основных элеменатрных функций.
ФУНКЦИЯ
| ПРОИЗВОДНАЯ
| С
|
| x
|
| x2
| 2x
| xn
| nxn-1
| ex
| ex
| ax
| ax lna
| ln x
| 1/x
| logax
| 1/(x lna)
| sin x
| cos x
| cos x
| -sin x
| tg x
| 1/cos2 x
| ctg x
| - 1/sin2 x
| arctg x
| 1/(1 + x2)
|
Производная от константы
c ′ = 0, где c = const
Производная степенной функции
(xn )′ = n · xn - 1
Производная показательной функции
(ax )′ = ax · ln a
Производная экспоненты
(ex )′ = ex
- y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:
(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,
можно доказать, что
Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,
Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.
Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.
Найдем предел
Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
- y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.
Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то
Таким образом,
- Аналогично можно показать, что
- Рассмотрим функцию y= ln x.
Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому
Итак,
12.Понятие дифференциала функций. Таблица дифференциалов и их применение.
Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:
где при .
Определение
Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:
Замечание
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Замечание
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Замечание
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|