ТЕОРИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 6

6.1. Переменная величина z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре значений (x, y) (точке (x, y) плоскости D) поставлено в соответствие единственное значение z из множества вещественных (действительных) чисел. Функцию двух переменных записывают в виде

z = f(x, y).

Переменные x и y называются аргументами, т.е. независимыми переменными.

Множество D называется областью определения функции двух переменных.

Графиком функции z = f(x, y) является множество точек (x, y, f(x, y)), т.е. поверхность, уравнение которой

z = f(x, y).

6.2. Переменной x дадим приращение ∆х, а y оставим без изменения. Если существует предел

,

то он называется частной производной от функции z = f(x, y) по переменной x. Обозначать частную производную от функции z = f(x, y) по переменной x можно любым из символов

Чтобы найти частную производную от функции z = f(x, y) по переменной x, нужно найти производную от этой функции по x, считая, что y = const.

Аналогично, частной производной от функции z = f(x, y) по переменной y называется предел

и обозначается одним из символов

Частная производная от функции z = f(x, y) по переменной y – это производная от функции

z = f(x, y) по переменной y в предположении, что x = const.

Частные производные от функции нескольких переменных находятся как производные от функции одной переменной при условии, что все остальные переменные считаются на момент дифференцирования постоянными.

6.3. Частными производными второго порядка от функции z = f(x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка

Частные производные и называются смешанными частными производными второго порядка. В точках, где смешанные производные непрерывны, они равны, т.е.

6.4. Пусть А(х₀; у₀) – данная точка, а B(х₀ + Δх; у₀ + Δy) – близкая точка, отвечающая приращениям аргументов Δх и Δy.

Полным приращением Δz функции z = f(x, y) в точке А(х₀; у₀) называется разность f(B) – f(A), т.е.

Δz = f(х₀ + Δх, у₀ + Δy) - f(х₀, у₀).

Если полное приращение Δz можно представить в виде

где ε – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием между точками A и B (т.е. при ), то функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке A. Точки A и B из области определения функции.

Главная часть полного приращения функции z = f(x, y), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом функции в точке A и обозначается

6.5. Применение полного дифференциала кприближенным вычислени­ям.

Полное приращение функции Δz и ее полный дифференциал связа­ны равенством

Δz = dz + ε.

При достаточно малых приращениях аргументов можно полное приращение функции Δz с малой относительной погрешностью заме­нить полным дифференциалом dz, т.е.

Δz ≈dz

или

f(х₀ + Δх, у₀ + Δy) - f(х₀, у₀) ≈dz.

Окончательно формула для приближенного вычисления с помо­щью полного дифференциала имеет вид

f(х₀ + Δх, у₀ + Δy) = f(х₀, у₀) +dz.

6.5.1. Относительная погрешность δ, возникающая при замене прира­щения функции ее дифференциалом, вычисляется по формуле

где z₁ = f(В) – точное значение функции в точке В;

z₂ = f(А) + dz – при­ближенное значение функции в точке В.

6.6. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке М₀(х₀; у₀; z₀), где z₀ = f(x₀, y₀), задается уравнением

6.7. Нормаль к поверхности z = f(x, y) в точке М₀(х₀; у₀; z₀), т.е. прямая, проходящая через точку М₀ перпендикулярно касательной плоскости, задается уравнениями

6.8. Если кривая задана как вектор-функция скалярного аргумента, т.е.

,

то вектор

направлен по касательной к этой кривой в точке М(x(t); y(t); z(t)).

6.8.1. Уравнение касательной к кривой , проходящей через точ­ку, отвечающую значению t₀, т.е. через точку М₀(х₀; у₀; z₀), где x₀ = x(t₀), y₀ = y(t₀), z₀ = z(t₀), имеет вид

6.8.2. Плоскость, проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) перпендику­лярно касательной (т.е. перпендикулярно вектору ), называется нормальной плоскостью к кривой в точке М₀(х₀; у₀; z₀). Уравнение нормальной плоскости имеет вид

x^/(t₀)∙(x-x(t₀)) + y^/(t₀)∙(у-у(t₀)) + z^/(t₀)∙(z-z(t₀)) = 0.

6.8.3. Если кривая задана уравнением

,

то ра­диус кривизны кривой вычисляется по формуле

где

– векторное произведение вектора на вектор – это вектор, координаты которого

вычисляются по формуле

Если известны координаты некоторого вектора

,

то модуль этого вектора равен

6.9. Точка М₀(х₀; у₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f(x, y), если для всех точек М(х; у), отличных от точки М₀(х₀; у₀) и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

f(x₀, y₀) > f(x, y) (f(x₀, y₀) < f(x, y) ).

точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции.

М₀(х₀; у₀) Î области определения функции.

6.9.1. необходимые условия экстремума.

Если точка М₀(х₀; у₀) является точкой экстремума функции z = f(х, у), то

или хотя бы одна из этих частных производных не существует.

точки, в которых частные производные первого порядка

называются стационарными.

точки, найденные из необходимых условий экстремума, называются стационарными или критическими (если хотя бы одна из частных производных не существует).

точки экстремума функции всегда являются стационарными (критическими) точками, но стационарная (критическая) точка может и не быть точкой экстремума.

6.9.2. Достаточные условия экстремума.

Сначала введем обозначения

, , , .

Пусть М₀(х₀; у₀) − критическая точка функции z = f(x, y). Тогда

1) если , то точка М₀(х₀; у₀) является точкой экстремума для функции, причем

М₀(х₀; у₀) будет точкой максимума при А < 0 (C < 0) и точкой минимума при А > 0 (C > 0);

2) если , то в точке М₀(x₀; y₀) экстремума нет;

3) если , то в точке М₀(x₀, y₀) экстремум может быть, а может и не быть (нужно дополнительное исследование), т.е. ответом будет «не знаем».

6.10. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой ограниченной области D, следует

1) найти из условия

стационарные точки функции z = f(x, y), лежащие внутри области D, и вычислить значения функции в них;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) на границе области D. Нахождение наибольшего и наименьшего зна­чений функции z = f(x, y) на границе области D сведется к реше­нию нескольких задач (по числу кривых, ограничивающих область D) на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [a, b]. Для этого в функцию z = f(x, y) подставить из уравнения границы выражение у через х (или х че­рез у). Получим функцию одной переменной, заданной на некотором отрезке [a, b];

3) из полученных в пунктах 1 и 2 значений выбрать наибольшее и наименьшее – это и будет ответ.

6.11. Градиентом функции z = f(x, y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные этой функции

− вектор,

координаты которого числа .

6.12. производная функции z = f(x, y) по направлению l,заданномувектором , вычисляется по формуле

где направляющие косинусы

Замечание 1. производная функции z = f(x, y) в данном направлении характеризует скорость изменения функции z в этом направлении, причем, если , то функция убывает, если , то функция возрастет в данном направлении.

Замечание 2. в направлении градиента функция возрастет с наибольшей скоростью, причем

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: