Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля)

Циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L (или просто циркуляцией вектора напряженности магнитного поля) называют интеграл

.

Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции магнитных полей как экспериментальных факторов вытекает важное следствие, которое облегчает расчеты магнитных полей. Для установления этого следствия проведем в магнитном поле некоторую замкнутую линию L (контур произвольной формы и произвольных размеров) (рис. 3.11).

Разобьем ее на элементарные участки . Для каждого из участков составим произведение ,×где - угол между направлением и касательной к контуру. Проинтегрировав, получим

.

С учетом того, что напряженность магнитного поля от бесконечно длинного проводника с током , а , имеем

.

Таким образом,

.

При изменении направления тока в проводнике в каждой точке поля вектор изменит свое направление на обратное. Косинусы углов будут иметь противоположный знак, и интеграл будет отрицательным. Знак интеграла изменится также и при перемене направления обхода контура L, вследствие чего изменятся направления касательных. Ввиду этого направление обхода и направление тока должны быть связаны между собой правилом "правого винта».

Если внутри замкнутого контура находятся n токов, то

(3.35)

Если ток протекает вне контура (рис. 3.12), то в этом случае можно записать

Соотношение справедливо и в том случае, когда контур и проводник имеют произвольную форму. Если ток направлен «на нас», то вектор направлен «против часовой стрелки» (рис.3.13). В этом случае и . В результате получим

.

Если же контур охватывает проводников с токами, направленными в разные стороны, то, учитывая, что от положения проводника внутри контура не зависит циркуляция , можем мысленно собрать все проводники в «жгут», толщина которого в силу конечности мала. По «жгуту» протекает ток, равный алгебраической сумме токов отдельных проводников (рис. 3.14).

Утверждение (3.35), что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, называется теоремой о циркуляции магнитного поля или законом полного тока в интегральной форме. Таким образом, из закона полного тока вытекают следующие следствия:

а) если направление обхода контура и направление тока в проводнике не связаны между собой правилом правого винта, то значение

,

сохранив величину, изменит знак;

б) если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает ток или алгебраическая сумма токов внутри замкнутого контура равна нулю, то

.

Зная связь между векторомнапряженности и вектором индукции магнитного поля, можно записать закон полного тока в интегральной форме для циркуляции вектора индукции:

. (3.36)

Так как , , то магнитному полю нельзя приписать какой-либо потенциал, а это означает, что магнитное поле является вихревым, а не потенциальным.

Закон полного тока в виде (3.35) и (3.36) справедлив только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи.

Применение закона полного тока для расчета

Магнитных полей

3.7.1. Напряженность поля бесконечно длинного соленоида

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу.

Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 3.15).

Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому принято считать поле бесконечно длинного соленоида (такого, у которого диаметр гораздо меньше длины – d<<L) однородным, существующим только внутри его.

Для расчета напряженности воспользуемся законом полного тока в виде

. (3.37)

Левую часть выражения (3.37) можно представить в виде

,

где , так как перпендикулярен участку 2-3;

, так как перпендикулярен участку 4-1;

, так как участок 3-4 находится вне соленоида.

Следовательно,

.

Правая часть выражения (3.37) может быть представлена так:

,

где n - число витков на единице длины соленоида;

- длина участка;

I - величина тока в соленоиде.

Таким образом, имеем

.

Откуда

. (3.38)

Из полученного результата действительно видно, что напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида имеет одно и тоже значение, а следовательно, оно действительно однородно.

Таким образом, действительно внутри бесконечно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова. Она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом правого винта.

3.7.2. Напряженность магнитного поля тороида

Тороид – это соленоид, свитый в кольцо. Его магнитное поле однородно, сосредоточено внутри самого тороида. Вне тороида поле отсутствует. Линиивектора представляют собой концентрические окружности, центры которых совпадают с центром тороида. Краевой эффект у тороида отсутствует (рис. 3.17).

Выбирая одну из линий вектора за контур обхода, радиус которого r (r₁, r₂), и применяя закон полного тока, будем иметь

;

,

где R - радиус тороида (радиус линии вектора , расположенной в средней части тороида).

Имеем

.

Откуда

. (3.39)

Так как в нашем случае R = r, то

. (3.40)

Внутри тороида напряженность магнитного поля имеет различные направления, поэтому говорить о его однородности можно только условно, т.е.

.

3.7.3. Напряженность магнитного поля внутри

толстых проводников с током

Пусть ток с постоянной плотностью протекает по проводнику радиуса (рис. 3.18). Вне проводника, согласно теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля ,

,

где - контур, представляющий собой окружность радиуса , центр которой лежит на оси цилиндрического проводника.

Имеем или .

Величина тока

,

где - плотность тока.

Тогда

,

Анализ полученного соотношения показывает:

1.) Если расстояние от оси проводника меньше его радиуса (r < R₀), то

.

Напряженность магнитного поля линейно возрастает.

2.) Если расстояние от оси проводника равно его радиусу, то

.

Напряженность магнитного поля достигает максимального значения.

3. Если расстояние от оси проводника больше его радиуса (r > R₀), то

.

Напряженность магнитного поля убывает и при R®¥ равна нулю.

Графически изменение напряженности магнитного поля проводника от расстояния до его оси можно представить так, как показано на рис. 3.19.

Магнитный поток

По аналогии с понятием потока вектора напряженности электрического поля вводится понятие потока вектора индукции магнитного поля.

Потоком магнитной индукции или магнитным потоком через площадку dS называется физическая величина, численно равная произведению проекции вектора индукции магнитного поля на направление положительной нормали к площадке и величины площадки dS (рис. 3.20):

.

Полный поток магнитной индукции через некоторую поверхность S

.

Если магнитное поле однородное и площадь S плоская,

.

Так как в природе магнитные заряды не существуют и линии векторалюбого магнитного поля замкнуты, то теорема Остроградского-Гаусса для магнитных полей имеет вид

, . (3.41)

Уравнение (3.41) является одним из уравнений Максвелла.

Введение понятия «магнитный поток» позволяет рассчитывать магнитные цепи, содержащие элементы с различными сечениями и магнитными проницаемостями.

Лекция №5

(Электрический и магнитный диполи. Действие поля на диполь. Механизм поляризации диэлектриков.

Связанные заряды и вектор поляризации. Электрическое поле в диэлектриках. Электрическое смещение.)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: