Интегральный признак Коши

Глава VI. РЯДЫ

Числовые ряды

1. Основные понятия

Пусть дана бесконечная числовая последовательность а₁, а₂, а₃,…, а_n,…, где а_n = f(n), n Î N. Выражение вида

а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n+ … = (6.1)

называют числовым рядом.

Числа а₁, а₂, а₃,..., а_n называют членами ряда, а_n = f(n) - общим членом ряда. Будем полагать, что а_i Î R, где i = 1, 2,…, n,…

Определение 1. Суммы конечного числа членов ряда (6.1), начиная с первого, S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃,…, S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n называются его частичными суммами.

Определение 2. Ряд (6.1) называется сходящимся, если его частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е.

Число S называют суммой ряда. Если предел частичной суммы равен бесконечности или не существует, то ряд называется расходящимся.

Нетрудно показать, что ряд

а + аq + aq²+…+ aqⁿ + … = ,

составленный из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии |q| < 1 ), сходится, причем его сумма S = .

2. Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и суммой его является число S, то для произвольного числа k ряд также сходится, причем его сумма равна k S.

2. Если сходятся ряды , имеющие соответственно суммы S и s, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно S ± s.

Следствие 1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Следствие 2. Сумма (разность) расходящихся рядов может быть и сходящимся и расходящимся рядом.

3. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то получится ряд, сходящийся или расходящийся одновременно с данным. В случае сходимости полученного ряда его сумма отличается на сумму добавленных или отброшенных членов.

Записав ряд (6.1) в виде

а₁ + а₂+ … + а_n + a_n₊₁+ a_n₊₂+ … = ,

обозначим сумму a_n₊₁ + a_n₊₂ + … = и будем называть ее в дальнейшем n-м остатком ряда или его остаточным членом. Очевидно, что в случае сходимости ряда (6.1), r_n = S – S_n.

Следствие 3. Если ряд (6.1) сходится, то его остаток r_n = a_n₊₁+ a_n₊₂+… стремится к нулю при n ® ¥.

3. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 1.Если ряд сходится, то предел его общего члена при

n ® ¥ равен нулю, т.е.

.

Следствие 4. Если предел общего члена ряда отличен от нуля или не существует при n ® ¥, то такой ряд расходится.

Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость ряда

Решение. Вычислим предел общего члена ряда а_n = при n ® ¥.

= е ¹ 0.

По необходимому признаку сходимости данный ряд расходится.

Условие Теоремы 1 является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Примером расходящегося ряда, удовлетворяющего необходимому признаку сходимости, является гармонический ряд

1+ .

Написать четыре-пять членов ряда по заданному общему члену а_n и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. .

Написать формулу общего члена ряда и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости

7. ;

8. ;

9. ;

10. …;

11. ;

12. .

Проверить выполняется ли необходимый признак сходимости ряда

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. .

4. Достаточные признаки сходимости рядов

С положительными членами

Первый признак сравнения

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

, (6.2)

b_n ³ 0.(6.3)

и для всех n выполняется условие a_n ³ b_n. Тогда из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.3); а из расходимости ряда (6.3) - расходимость ряда (6.2).

Замечание.Этот признак остается в силе, если неравенства a_n ³ b_n выполняются, начиная с некоторого номера n = N.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Проверим сначала, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак выполняется и, следовательно, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для дальнейшего исследования сходимости ряда воспользуемся достаточным признаком – первым признаком сравнения.

Для сравнения выберем ряд , члены которого больше соответствующих членов исследуемого ряда, т.е. . Ряд составлен из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии q = < 1) и, следовательно, сходится. Тогда согласно первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Второй признак сравнения

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов рядов и (а_n > 0, b_n > 0) при n, стремящемся к бесконечности, т. е. (S = const), то оба ряда в смысле сходимости ведут себя одинаково.

Пример 3.Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся вторым признаком сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , общий член которого .

Таким образом, согласно второму признаку сравнения, из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда .

Замечание. В качестве рядов для сравнения необходимо выбирать ряды, сходимость или расходимость которых известна.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда:

1) если r < 1, то ряд сходится;

2) если r > 1, то ряд расходится;

3) если r = 1, то признак не определяет поведение ряда, необходимо использовать другие достаточные признаки сходимости.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем ,

< 1.

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера.
Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд (а_n ³ 0) и существует предел .

Тогда:

1) если r < 1, то ряд сходится;

2) если r > 1, то ряд расходится;

3) если r = 1, то признак не определяет поведения ряда, необходимо использовать другие признаки.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь удобно воспользоваться радикальным признаком Коши, так как и предел этой дроби при n ® ¥ легко вычисляется:

< 1.

Следовательно, данный ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд и f(x) – непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция такая, что f(n) = a_n, где n Î [m; +¥). Тогда данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Пример 6. Исследовать сходимость ряда (a > 0).

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого положим , m = 1. Тогда

Как следует из данного примера, данный обобщенный гармонический ряд сходится при a > 1 и расходится при a< 1 (a = 1 соответствует расходящемуся гармоническому ряду).

Исследовать на сходимость ряды при помощи

признаков сравнения

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. .

Исследовать на сходимость ряды при помощи

признака Даламбера

28. ; 29. ; 30. ;

31. ; 32. ; 33. ;

34. ; 35. ; 36. .

Исследовать на сходимость ряды при помощи

радикального признака Коши

37. ; 38. ;

39. ; 40. .

Исследовать на сходимость ряды при помощи

интегрального признака Коши

41. ; 42. ; 43. ;

44. ; 45. ; 46. .

Исследовать ряды на сходимость

47. ; 48. ; 49. ;

50. ; 51. ; 52. ;

53. ; 54. ; 55. ;

56. ; 57. ; 58. ;

59. ; 60. ; 61. .

Знакопеременные ряды

Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его слагаемых есть и положительные, и отрицательные.

1. Знакочередующиеся ряды

Определение 2. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные его члены следуют друг за другом поочередно.

Признак Лейбница

(достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда)

Теорема 1. Знакочередующийся ряд

(6.4)

сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают с ростом порядкового номера, и общий член его стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности, т. е. если выполняются условия:

1. а₁ > а₂ > а₃ > … > а_n > … ;

2. .