Определение определенного интеграла

Глава IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Первообразная и неопределенный интеграл

Основные понятия

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в любой точке этого промежутка выполняется равенство или dF(x) = f(x) dx.

Если F(x) - первообразная для f(x), то функция F(x) + C, где C – некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), так как для любого С.

Определение 2. Если F(x) - первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Согласно данному определению имеем

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. d .

3. .

4. , a = const.

5. .

3. Таблица основных интегралов

1. 2. (a ¹ -1)

3. (x ¹ 0) 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. = arctgx + C 12.

13. 14.

Методы интегрирования

1. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Применим свойства 4и5и воспользуемся таблицей интегралов, тогда

.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как 1 = sin²x + cos²x, то интеграл можно записать в виде

= .

Применяя свойство 5, получим

Получили два табличных интеграла 8 и 9.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный. Умножим и разделим подынтегральное выражение на 3 и учтем, что 3dx = d(3x), тогда

.

Мы привели исходный интеграл к табличному интегралу 7 с переменной интегрирования 3x

.

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл может быть приведен к табличному, если учесть, что cos x dx = Считая sin x переменной интегрирования, по формуле 2 таблицы интегралов получим

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. Учитывая, что dx = d(1 + x), получим

.

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение. Так как xdx = , то

.

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Так как 1 + 2x²= (1 + x²) + x², то

= .

По формулам 2 и 11 таблицы интегралов получаем

2. Метод подстановки (замены переменной)

Замена переменной интегрирования в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки двух видов:

1) x = j(t), где j(t) - дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) u = y(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

.

Пример 8.Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку t = , т. е. x = t³. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = = 3t²dt. Тогда получим

.

Вернемся к переменной интегрирования x. Подставляя в результат интегрирования t = , получим

.

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Положим x³+ 5 = t, тогда 3x²dx = dt, x²dx = и интеграл преобразуется к виду

.

Если интеграл является табличным, то интеграл может быть легко найден с помощью подстановки ax + b = t.

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ax + b = t, тогда аdx = dt, dx = и интеграл примет вид .

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку cos²x = t, тогда 2 cos x sin x dx = dt, т. е. sin 2x dx = -dt. Тогда

= -arcsin .

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуя знаменатель дроби, получим

x⁴+ 2x²+ 5 = (x²+ 1)²+ 4. Сделаем подстановку x²+ 1 = t, тогда xdx = . Отсюда

.

Вычислить интегралы

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

3. Метод интегрирования по частям

Интегрированием по частямназывается вычисление интеграла по формуле

,

где u и v – дифференцируемые функции от х.

Данная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например

1. Для интегралов вида

, , ,

где P(x) – многочлен, а - число, полагают u = P(x), а все остальные сомножители – dv.

2. В интегралах вида

, , ,

,

полагают Р(x)dx = dv, а остальные сомножители – u.

3. В интегралах вида

,

за u можно принять любую из функций e^axили sin bx (или cos bx).

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение. Положим u = x, dv = , тогда

du = dx, v = = , т. е. v = -cos x.

По формуле интегрирования по частям, имеем

.

Пример 14. Вычислить интеграл

Решение. Положим dv = x²dx, ln x = u, тогда

v = , du = и

.

Пример 15. Вычислить интеграл I= .

Решение. Пусть u = e^x, dv = sin x dx, тогда

du = e^xdx, v = .

Следовательно,

I = -e^xcos x + .

Полученный интеграл проинтегрируем также по частям, положив u = e^x, dv = cos x dx, тогда du = e^xdx и v = и следовательно I = -e^xcos x + (е^xsin x - ) = -e^xcos x + e^xsin x - I.

Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I.

2I = -e^xcos x + e^xsin x,

I = .

Вычислить интегралы

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

Определенный интеграл

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b], a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x₀< x₁< x₂< … < < x_i_-₁< x_i < … < x_n = b. В каждом элементарном отрезке [x_i_-₁; x_i] выберем произвольную точку x (x_i_-₁£ x £ x_i) и обозначим через Dx_i = x_i - x_i_-₁ длину каждого такого отрезка. Тогда сумма вида

называется интегральной суммой для функции f(x) на [a; b].

Обозначим через l длину наибольшего элементарного отрезка разбиения: l = mаx{Dx_i}.

Определение 1.Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при l®0, т.е.

= .

Здесь числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Для существования определенного интеграла от функции f(x) на отрезке [a; b], достаточно ее непрерывности на этом отрезке.

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, т. е. S = . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2. Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме их интегралов:

.

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

сÎ[a; b].

Замечание. Определенный интеграл от нечетной функции по симметричным пределам равен нулю.

3. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

.

Пример 1. Вычислить интегралы

1. ; 2. .

Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница получим

1. ;

2.

- .

Вычислить интегралы

57. (n¹1) 58.

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.