Сделай Сам Свою Работу на 5

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных





Функции нескольких переменных

1. Основные определения

Определение 1. Соответствие, которое каждой паре (x; y) значений переменных x и y, принадлежащей некоторому множеству пар D, сопоставляет одно и только одно число zÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область определения функции f.

 

2. Частные и полное приращения функции двух переменных

Если в функции z = f(x; y) двух переменных x и y зафиксировать значение одной из них, например y = y0, то получим функцию z = f(x; y0), зависящую от одной переменной х.

Аналогично, если зафиксировать переменную x = x0, получим функцию z = f(x0; y) одной переменной у.

Определение 2. Величина Dxz = f(x0+Dx; y0) - f(x0; y0) называется частным приращениемфункции z = f(x; y) в точке (x0; y0) по аргументу х.

Определение 3. Величина Dyz = f(x0; y0+Dy) - f(x0; y0) называется частным приращениемфункции z = f(x; y) в точке (x0; y0) по аргументу y.

Определение 4. Величина Dz = f(x0+Dx; y0+Dy) - f(x0; y0) называется полным приращениемфункции z = f(x; y) в точке (x0; y0).

 

3. Частные производные функции двух переменных

Пусть дана функция z = f(x; y) двух независимых переменных x и y. Фиксируя одну из них, например, полагая у = const, приходим к функции одной переменной x. Тогда можно ввести понятие производной полученной функции по x, которую обозначим . Согласно определению производной функции одной переменной имеем:



Определение 5. Предел отношения частного приращения Dxz функции z=f(x; y) по переменной x к приращению Dx переменной x при Dx, стремящимся к нулю, называется частной производнойфункции по x и обозначается ; ;

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f(x; y) по переменной y.

Пример 1. Найти частные производные функций:

1. f(x; y) = x3+ x2y2+ y3+ 3;

2. z = xy+ yx.

Решение

1. Полагая y = const, и считая при этом x независимой переменной, найдем

Аналогично при x = const, получим .

2. При y = const

;

при x = const

Все сказанное можно распространить на функции любого числа переменных.

Пример 2. Найти частные производные функции

u = f(x; y; z) = cos(x2+ y2+ z2).

Решение

-sin(x2+ y2+ z2) × 2x, y = const, z = const;

-sin(x2+ y2+ z2) × 2y, x = const, z = const;

-sin(x2+ y2+ z2) × 2z, x = const, y = const.



Поскольку частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями нескольких переменных, то для них можно также вычислять частные производные. Эти производные называют частными производными высших порядков.

Например, для функции f(x; y) двух переменных имеются следующие типы производных второго порядка:

- вторая частная производная по x;

и = - смешанные частные производные

- вторая частная производная по у.

 

 

4. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение 6. Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов Dx и Dy.

C учетом того, что Dx = dx и Dy = dy полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по формуле

dz = . (3.5)

Пример 3.Вычислить полный дифференциал функции

z = ln (x2 + y2).

Решение. Найдем частные производные и данной функции

;

После их подстановки в формулу (3.5) получим

dz =

 

Найти частные производные функций

 

284. z = x2+ 2xy + y2+ 5 285. z = (x + y)3

286. z = 287. z =

288. z = x3y - y3x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x·y 293. z =

294. z = ey/x– ex/y 295. z = xy+ sin

296. z = sin(x2y + xy2) 297. z = yx+ arctg

 

Найти частные производные второго порядка

 

298. z = x4+ 4x2y3+ 7xy + 1 299. z = x2y

300. z = 4x3+ 3x2y + 3xy2– y3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xey 305. z = x + y +

306. z = x2y 307. z = ln(x + exy)

 

Проверить, что

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x2 sin

312. z = 313. z = arctg

 

Найти полный дифференциал функций

 

314. z = xy3- 3x2y2+ 2y4+1 315. z = 3x2y5

316. z = sin(x2+ y2) 317. z = xy

318. z = exy 319. z = excos y

320. z = eycos x 321. z = cos + sin

 

5. Экстремумы функции двух переменных



Основные определения

 

Определение 1. Точка М(x0; у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x0; y0) ³ f(x; y), .

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x0; y0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. ;

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарнымииликритическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция z = f(x; y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x0; y0), в которой и ;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если D = АС - B2> 0, то в точке (x0; y0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае D = АС - В2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B2= 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции z = x2+ xy + y2- 3x - 6y.

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:

Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).

Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.

А = = 2; С = = 2;

В = .

Составим дискриминант D = АС - В2= 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке zmin= -9.

 

Найти экстремумы функций

 

322. z = x2+ y2+ xy - 4x - 5y 323. z = y3 - x3- 3xy

324. z = x2- 2xy + 4y3 325. z = - y2- x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e-x/2(x + y2) 329. z = x3+ 8y3- 6xy + 1

330. z = 3x2y - x3- y4 331. z = 3x + 6y - x2- xy + y2

 

 

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

В замкнутой области

 

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшеезначения функции в замкнутой области, надо:

1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = в круге x2+ y2 £ 1.

Решение. Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.

откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.

Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Найдем критические точки на границе области - окружности, заданной уравнением x2+ y2= 1. Подставляя у2= 1 - x2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной

z = ;

причем xÎ[-1; 1].

Вычислив производную и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x1 = 0, x2 = , x3 =

Найдем значение функции z(x) = в критических точках и на концах отрезка [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.

Итак, zнаиб. = z(0; 0) = 2

и

zнаим. = z

 

Условный экстремум

Определение 2. Условным экстремумом функции z = f(x; y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x; y) = 0 (уравнение связи).

Отыскание условного экстремума функции z = f(x; y) можно свести к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжаu = f(x; y) + lj(x; y), где l - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид

Из этой системы трех уравнений находят x и y - координаты точки, подозрительной на экстремум, и l.

Пример 3. Найти экстремум функции z = xy при условии, что x и y связаны уравнением 2x + 3y - 5 = 0.

Решение. Рассмотрим функцию Лагранжа u = xy + l(2x + 3y - 5). Имеем , . Из системы уравнений, определяющей необходимые условия экстремума

находим l = - , x = , y = . Нетрудно проверить, что в точке функция z = xy достигает наибольшего значения zmax= .

Пример 4. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение. Пусть x и y – катеты треугольника, а z – гипотенуза. Так как z2= x2+ y2, то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции x2+ y2при условии, что x и y связаны уравнением т. е. xy - 2S = 0. Рассмотрим функцию Лагранжа u = x2+ y2+ l(xy - 2S) и найдем частные производные

; .

Так как x > 0, y > 0, то из системы уравнений

получаем решение l = -2, x = , y = .

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

 

332. z = x2- xy + y2- 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x2+ 3y2+ x - y в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) в области 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy в круге x2+ y2£ 1.

337. z = 1 - x2- y2 в круге (x - 1)2 + (y - 1)2£ 1.

338. z = x2+ y2 в круге (x - )2+ (y - )2£ 9.

 

339. Найти экстремум функции z = x2 + y2, если x и y связаны уравнением = 1.

340. Из всех треугольников, имеющих периметр Р, найти наибольший по площади.

341. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

342. Определить размеры открытого бассейна объемом V, имеющего наименьшую поверхность.

343. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности S максимальный объем.

344. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность S = 6p.

 


* Под понятиями выпуклость и вогнутость графика функции следует понимать выпуклость вверх и вниз соответственно.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.