Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Приближенное значение приращения функции

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Dy » dy и, следовательно,

Dy » . (3.3)

Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y= при изменении аргумента x от значения x₀=3 до x₁=3,01.

Решение. Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим

= x₁- x₀= 3,01 - 3 = 0,01, тогда

Dу » .

Приближенное значение функции в точке

В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x₀ при приращении аргумента Dx (Dx®0) Dy = f(x₀ + Dx) - f(x₀) и формулой (3.3) можно записать

f(x₀+ Dx) » f(x₀) + . (3.4)

Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:

(1 + Dx)ⁿ» 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Здесь, как и ранее предполагается, что Dx®0.

Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x -5)⁵в точке x₁=2,02.

Решение. Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x₁ в виде x₁= x₀+ Dx. Тогда x₀= 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5)⁵= 1

= 15 × (3 × 2 - 5)⁴= 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5)⁵» 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Пример 4. Вычислить (1,01)⁵, , ln(1,02), ln .

Решение

1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01)⁵в виде (1+0,01)⁵.

Тогда, полагая Dх = 0,01, n = 5, получим

(1,01)⁵= (1 + 0,01)⁵» 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представив в виде (1 - 0,006)^1/6, согласно (3.4а), получим

(1 - 0,006)^1/6» 1 + .

3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая Dx=0,02, по формуле (3.4б) получим

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Аналогично

ln = ln(1 - 0,05)^1/5= .

Найти приближенные значения приращения функций

155. y = 2x³+ 5 при изменении аргумента x от значения x₀= 2 до x₁= 2,001

156. у = 3x²+ 5x + 1 при x₀= 3 и Dx = 0,001

157. y = x³+ x - 1 при x₀= 2 и Dx = 0,01

158. y = ln x при x₀= 10 и Dx = 0,01

159. y = x²- 2x при x₀= 3 и Dx = 0,01

Найти приближенные значения функций

160. у = 2x²- x + 1 в точке x₁= 2,01

161. y = x²+ 3x + 1 в точке x₁= 3,02

162. y = в точке x₁= 1,1

163. y= в точке x₁= 3,032

164. y = в точке x₁= 3,97

165. y = sin 2x в точке x₁= 0,015

Вычислить приближенно

166. (1,025)¹⁰ 167. (9,06)² 168.(1,012)³

169. (9,95)³ 170. (1,005)¹⁰171. (0,975)⁴

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05)⁵ 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e²×0,97)

Исследование функций и построение графиков

Признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая функция y = f(x), xÎ(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x₀Î(a; b).

Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если функция y = f(x), xÎ(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Определение 1. Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой d-окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)) при x ¹ x₀.

Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума). Если точка x₀ является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки x₀. Тогда:

1) если производная при переходе через точку x₀ меняет знак с (+) на (-), то x₀ является точкой максимума;

2) если производная при переходе через точку x₀ меняет знак с (-) на (+), то x₀ является точкой минимума;

3) если производная при переходе через точку x₀ не меняет знак, то в точке x₀ функция не имеет экстремума.

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью первой производной

1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).

2. Вычислить первую производную

3. Найти критические точки первого рода.

4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.

5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x³- 3x².

Решение. В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x²- 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критические точки первого рода.

max min

+ - +

0 2 х

Производная при переходе чрез точку x = 0

меняет знак с (+) на (-), следовательно это точка

максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с (-) на (+), следовательно это точка минимума.

5. y_max= f(0) = 0³× 3 × 0²= 0.

Координаты максимума (0; 0).

y_min= f(2) = 2³- 3 × 2²= -4.

Координаты минимума (2; -4).

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, причем , то в точке x₀функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если .