Высказывания и операции над ними

Элементы математической логики

Логика является началом любой научной теории. Как наука о способах мышления, приводящих к истине, логика возникла в глубокой древности. Ее основы заложены древнегреческими философами – Парменидом, Зеноном, Протагором, Сократом, сведения о которых дошли до нас благодаря Платону. Им были также выявлены некоторые принципы и схемы рассуждений. Но только Аристотель отделил их от содержания рассуждений и создал чистую систему силлогизмов – правил вывода, что привело к возникновению теории логики.

Формальная логика просуществовала без серьёзных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего её развития.

Впервые идеи о построении логики на математической основе были высказаны в конце XVII века немецким математики Г.-В. Лейбницем. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые затем можно соединять по особым правилам. Это позволило бы всякое рассуждение заменить вычислением. «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Г.-В. Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к созданию алгебры высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики.

Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований.

Алгебра высказываний

Высказывания и операции над ними

Основным понятием математической логики является понятие высказывания.

Высказывание– это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Например, высказываниями являются следующие предложения:

· Луна – спутник Земли;

· белые медведи живут в Африке;

· диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

· число 100 является корнем уравнения x² – 5x + 6 = 0;

· 36² –254 ³ 0.

Следующие предложения высказываниями не являются:

· Стой! Куда идешь?

· Маслины вкуснее ананасов;

· x – четное число;

· x² – 5x + 6 = 0;

· 36² –254.

Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A, B, C, …; истинное значение – буквой И, ложное значение – буквой Л.

Среди высказываний можно выделить простые (элементарные) и сложные (составные) высказывания. Сложные высказывания строятся из простых при помощи так называемых логических связок. Логические связки соответствуют операциям над высказываниями и в языке выражаются с помощью частиц и союзов «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда». Чтобы придать логическим связкам точный смысл, нужно договориться, в каких случаях из данных высказываний получается ложное, а в каких истинное высказывание, исходя из истинности или ложности исходных высказываний.

Определение. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если А ложно, и ложным, если А истинно. Отрицание А обозначается и читается «не А», «неверно, что А». Логические значения высказывания определяется следующей таблицей, которая называется таблицей истинности:

А
И	Л
Л	И

Определение. Конъюнкцией высказываний А и B называется новое высказывание, которое является истинным только в случае, когда истинны оба высказывания А и B,а в остальных случаях ложно. Конъюнкция обозначается А Ù B и читается «А и B». Таблица истинности для конъюнкции:

Из определения конъюнкции следует, что союз «и» в математике используется в привычном смысле, как и в обычной речи.

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и B называется новое высказывание, которое является ложным только в случае, если ложны оба высказывания А и B,а в остальных случаях истинно. Дизъюнкция обозначается А Ú B и читается «А или B». Таблица истинности для дизъюнкции:

Союз «или» в русском языке может использоваться в двух смыслах исключающем и неисключающем. Например, рассмотрим два высказывания: «Студенты готовятся к экзамену по конспектам или по учебникам», «Сегодня в 19 часов я пойду в кино или в театр». В первом случае подготовка к экзамену по конспектам не исключает использования учебника и наоборот. Во втором случае может быть верна только одна возможность: кино или театр. Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется в неисключающем смысле.

Определение. Импликацией высказываний А и B называется новое высказывание, которое является ложным только в случае, если высказывание A истинно, а B ложно,а в остальных случаях истинно. Импликация обозначается А ® B и читается «если А, то B» или «из А следует B». Таблица истинности для импликации:

В импликации А ® B высказывание A называется посылкой или условием, а B – заключением или следствием.

В обычной речи мы привыкли, что высказывание «из А следует B» предполагает, что между высказываниями А и B существует некоторая связь.

Приведем пример, иллюстрирующий это.

Отец сказал сыну: «Если я получу премию, то куплю тебе велосипед». Обозначим через А высказывание «Я получу премию», через B – «Я куплю велосипед». Тогда обещание отца запишем так: А ® B. Если ребенок будет считать, что отец выполнил обещание, то целесообразно считать высказывание А ® B истинным, если нарушил обещание – ложным. Рассмотрим варианты:

· получена премия, велосипед куплен – обещание выполнено;

· не получена премия, велосипед не куплен – обещание выполнено;

· не получена премия, велосипед куплен – поступок отца не кажется ребенку нарушением обещания, то есть обещание выполнено;

· получена премия, велосипед не куплен – ребенок считает себя обманутым, то есть обещание не выполнено.

С точки зрения логики следование из одного высказывания другого по смыслу совсем не обязательно. Определение позволяет рассматривать импликацию любых двух высказываний и определять ее логическое значение. Это еще раз подтверждает формальный характер построения высказываний, изучаемых в логике.

Например, высказывание «Если 2 ´ 2 = 4, то белые медведи живут в Африке» ложно, а высказывание «Если белые медведи живут в Африке, то 2 ´ 2 = 4» истинно.

Определение. Эквиваленцией высказываний А и B называется новое высказывание, которое является истинным в случае, если высказывание A и B принимают одинаковые значения истинности, и ложно, если значенияистинности высказываний А и B различны. Импликация обозначается А « B и читается «А эквивалентно B» или «А тогда и только тогда, когда B». Таблица истинности для эквиваленции:

Например, высказывание «2 ´ 2 = 4, тогда и только тогда, когда белые медведи живут в Африке» ложно, а высказывание «2 ´ 2 = 5, тогда и только тогда, когда белые медведи живут в Африке» истинно.

Приведенный пример показывает, что связкой эквиваленции могут быть соединены любые, даже независимые друг от друга по смыслу высказывания.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: