Сделай Сам Свою Работу на 5

Векторы на плоскости и в пространстве - основные определения.





В этой статье мы дадим определение вектора с точки зрения геометрии, а также основные сопутствующие понятия. На плоскости и в пространстве вектор является полноценным геометрическим объектом, то есть, имеет вполне реальные очертания, которые Вы увидите на приведенных графических иллюстрациях.

Определение.

Вектор – это направленный отрезок прямой.

То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом.

Для обозначения векторов будем использовать строчные латинские буквы со стрелочкой над ними, например . Если заданы граничные точки начала и конца отрезка, к примеру А и В, то вектор будем обозначать как .

Определение.

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства.

Будем считать, что нулевому вектору можно придать любое направление на плоскости и в пространстве.

Определение.

Длина вектора - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ.

Длину вектора будем обозначать как .

Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин "длина вектора". Длина нулевого вектора равна нулю.



Определение.

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение.

Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Определение.

Два коллинеарных вектора и называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают .

Определение.

Два коллинеарных вектора и называют противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначают ).

Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым другим вектором.

Определение.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Определение.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Понятие равных векторов дает нам возможность рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Другими словами, мы имеем возможность заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.



Пусть и два произвольных вектора на плоскости или в пространстве. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы и . Лучи OA и OB образуют угол .

Определение.

Угол называется углом между векторами и .

Угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или радиан).

Определение.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам (или радиан).

 

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 1).     Рис. 1 Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор – диагональ параллелограмма – является суммой векторов и (рис. 2).   Рис. 2 Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).   Рис. 3 Вычитание векторов.Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û . Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).   Рис. 4 Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности (рис. 5).   Рис. 5 Умножение вектора на число.Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1) , 2) при и при . Очевидно, что при . Построим, например, векторы и для заданного вектора (рис. 6). Рис. 6 Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство : (2.1) Свойства линейных операций: 1) ; 2) ; 3) ; ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; ; Пусть дан вектор . Ортом вектора (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором . Очевидно, для любого вектора .

 



 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.