Сделай Сам Свою Работу на 5

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ





1. Множества и способы их задания

Напомним, что "множество" – это неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, говорил, что "множество – это многое, мыслимое как единое".

Множества принято обозначать большими латинскими буквами , элементы множества – малыми буквами. Слова "принадлежит" и "не принадлежит" обозначаются символами: и : – элемент принадлежит множеству , – элемент не принадлежит множеству .

Элементами множества могут быть любые объекты – числа, векторы, точки, матрицы и т.п. В частности элементами множества могут являться множества.

Для числовых множеств общепринятыми являются следующие обозначения:

– множество натуральных чисел (целых положительных чисел);

– расширенное множество натуральных чисел (к натуральным числам добавлено число нуль);

– множество всех целых чисел, куда входят положительные и отрицательные целые числа, а также нуль.

– множество рациональных чисел. Рациональное число – это число, которое может быть записано в виде обыкновенной дроби – целые числа). Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, (например, ), причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными.



– множество действительных чисел, в которое входят все рациональные числа, а также числа иррациональные. (Например, числа – являются иррациональными).

Каждый раздел математики использует свои множества. Начиная решать какую-либо задачу, прежде всего определяют множество тех объектов, которые будут в ней рассмотрены. Например, в задачах математического анализа изучают всевозможные числа, их последовательности, функции и т.п. Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством (для данной задачи).

Универсальное множество принято обозначать буквой . Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т. е. утверждение в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество , которое не содержит ни одного элемента.



Задать множество – это значит, указать способ, позволяющий относительно любого элемента универсального множества однозначно установить, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, или , является истинным, а какое ложным.

Множества можно задавать различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Список элементов множества. Этим способом можно задавать конечные или счетные множества. Множество является конечным или счетным, если можно занумеровать его элементы, например, a1,a2,…и т. д. Если существует элемент с самым большим номером, то множество является конечным, если же в качестве номеров задействованы все натуральные числа, то множество является бесконечным счетным множеством.

Примеры.

1). – множество, содержащее 6 элементов (конечное множество).

2). – бесконечное счетное множество.

3). - множество, содержащее 5 элементов, два из которых – и , сами являются множествами.

2. Характеристическое свойство. Характеристическое свойство множества – это свойство, которым обладает каждый элемент множества, но не обладает никакой объект, не принадлежащий множеству.

Примеры.

1). - множество равносторонних треугольников.

2). – множество действительных чисел, больших или равных нулю, и меньших единицы.

3). – множество всех несократимых дробей, числитель которых на единицу меньше знаменателя.

3. Характеристическая функция.

Определение 1.1. Характеристической функцией множества называют функцию , заданную на универсальном множестве и принимающую значение единица на тех элементах множества , которые принадлежат , и значение нуль на элементах, которые не принадлежат :



,

Из определения характеристической функции следует два очевидных утверждения:

1. , ;

2. , .

Рассмотрим в качестве примера универсальное множество = и два его подмножества: – множество чисел, меньших 7, и – множество четных чисел. Характеристические функции множеств и имеют вид

, .

Запишем характеристические функции и в таблицу:

( )

Удобной иллюстрацией множеств являются диаграммы Эйлера-Венна, на которых универсальное множество изображается прямоугольником, а его подмножества – кругами или эллипсами (рис. 1.1(а-в)).

Как видно из рис. 1.1.(а), выделение в универсальном множестве U одного множества – множества A, разбивает прямоугольник на две непересекающиеся области, в которых характеристическая функция принимает разные значения: =1внутри эллипса и =0 вне эллипса. Добавление еще одного множества – множества B, (рис. 1.1 (б)), снова делит каждую из уже имеющихся двух областей на две подобласти. Образуется непересекающиеся

области, каждая из которых соответствует определенной паре значений характеристических функций ( , ). Например, пара (01) соответствует области, в которой =0, =1. Эта область включает в себя те элементы универсального множества U, которые не принадлежат множеству A, но принадлежат множеству B.

Добавление третьего множества – множества C, (рис. 1.1 (в)), снова делит на две подобласти каждую из уже имеющихся четырех областей. Образуется непересекающихся областей. Каждая из них соответствует определенной тройке значений характеристических функций ( , , ). Эти тройки можно рассматривать как номера областей, записанные в двоичной системе счисления. Например, № 1012=510, т.е. область, в которой находятся элементы множеств A и C, но нет элементов множества B, – это область №5. Таким образом, каждая из восьми областей имеет свой двоичный номер, несущий информацию о принадлежности или непринадлежности элементов этой области множествам A, B и C.

Множество и подмножество

Определение 1.2. Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом .

Определение 1.3. Отношение между множеством и подмножеством называют отношением включения.

Если множество является подмножеством множества , то говорят, что включено в или включает в себя .

Слова "включено" и "не включено" обозначаются символами: и . Предложение может быть прочитано любым из следующих способов: "множество включено во множество ", "множество включает в себя множество ", "множество является подмножеством множества ".

Обратим внимание на то, что в определении 1.2 не сказано, имеются ли во множестве элементы, не принадлежащие . Возможны два случая: (1) содержит элементы, не принадлежащие , (2) не содержит элементов, не принадлежащих .

В первом случае множество в некотором смысле "больше" множества , так как кроме всех элементов, входящих в , имеет еще какие-то элементы. В этом случае называют правильной частью множества , а отношение между и – отношением строгого включения. Знак строгого включения " ". Предложение можно читать " строго включено в ", или " является правильной частью ".

Во втором случае, когда и состоят из одних и тех же элементов, их называют равными множествами = , а отношение между ними – отношением равенства. В случае равенства множеств, справедливы оба включения: и . Поскольку любое множество равно самому себе, то оно является подмножеством самого себя: .

Таким образом, утверждение истинно для тех множеств , которые либо являются правильной частью , либо равны . Аналогично нестрогое числовое неравенство: , справедливо для всех значений переменной , которые меньше или равны .

Диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие отношение включения, показаны на рис. 1.2.

Операции над множествами

Прежде всего введем понятия унарной и бинарной алгебраических операций на каком-либо множестве .

Определение 1.6. Одноместной или унарной алгебраической операцией на множестве называют соответствие, по которому каждому элементу множества сопоставляется определенный элемент множества .

Например, унарной алгебраической операцией на множестве действительных чисел является нахождение противоположного числа: для любого числа найдется единственное противоположное число .

Определение 1.7. Двуместной или бинарной алгебраической операцией на множестве называют соответствие, по которому каждой паре элементов множества сопоставляется определенный элемент множества .

Например, бинарными алгебраическими операциями на множестве действительных чисел являются сложение и умножение: для любых двух действительных чисел найдется единственное число , которое является их суммой, и единственное число , которое является их произведением: .

Пусть имеем универсальное множество и P(U) – множество всех его подмножеств, множества – элементы булеана: P(U). Будем рассматривать операции на множестве P(U).

1. Дополнение множества, ,

Определение 1.7. Дополнением множества называют множество , состоящее из тех и только тех элементов универсального множества , которые не принадлежат множеству .

На рис.1.6 множество представлено заштрихованной областью. В табл. 1.1 записаны значения характеристической функции для каждого из двух возможных значений .

Таблица 1.1. Таблица значений характеристической функции дополнения
Значения характеристических функций

Как видно из табл. 1.1, справедливы равенства

. (1.4)

Дополнение множества является унарной алгебраической операцией на P(U), так как каждому подмножеству множества ставит в соответствие другое подмножество – , в которое попадают все элементы , не принадлежащие .

Свойства операции дополнения

1. Дополнением универсального множества является пустое множество, дополнением пустого множества – универсальное множество:

, . (1.5)

2. Дополнение дополнения множества есть множество :

. (1.6)

3. Если множество включено во множество , то дополнение включено в дополнение :

. (1.7)

Докажем справедливость утверждения (1.7). Для этого используем таблицу характеристических функций множеств , , и . При построении таблицы будем учитывать формулу (1.2): . В силу этой формулы, случай =1, =0 не возможен и из таблицы исключен.

Характеристические функции

Как видно из таблицы, при всех допустимых значениях и выполняется неравенство: . Следовательно, .

2. Пересечение множеств, .

Определение 1.8. Пересечением множеств и называют множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству , так и множеству B.

На рис.1.7 множество представлено областью, заштрихованной дважды. В табл. 1.2 записаны значения характеристической функции для каждой из четырех возможных пар значений и .

Таблица 1.2. Таблица значений характеристической функции пересечения множеств
Значения характеристических функций

Для вычисления значений характеристической функции пересечения множеств, используются формулы (1.8) – (1.9).

1) Логическое произведение.

. (1.8)

2) Алгебраическое произведение.

. (1.9)

3. Объединение множеств, .

Определение 1.9. Объединением множеств и называют множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые либо принадлежат множеству , либо множеству , либо обоим множествам.

На рис.1.8 множество представлено заштрихованной областью. В табл. 1.3 записаны значения характеристической функции для каждой из четырех возможных пар значений и .

Таблица 1.3. Таблица значений характеристической функции объединения множеств
Значения характеристических функций

Для вычисления значений характеристической функции пересечения множеств, используются формулы (1.10) – (1.11).

1) Операция максимум.

. (1.10)

2) Вероятностная сумма.

. (1.11)

Формулы (1.8), (1.9) сопряжены с формулами (1.10), (1.11). Это означает, что если вычисляется по формуле логического произведения, то следует вычислять по формуле операция максимум, если же вычислено как алгебраическое произведение, то – это вероятностная сумма.

4. Разность множеств, .

Определение 1.10. Разностью множеств и называют множество , состоящее из тех и только тех элементов множества , которые не принадлежат множеству .

На рис.1.9 множество представлено заштрихованной областью. В табл. 1.4 записаны значения характеристической функции для каждой из четырех возможных пар значений и .

Таблица 1.4. Таблица значений характеристической функции разности множеств
Значения характеристических функций

Как видно из табл.1.4 элемент принадлежит разности множеств в том случае, если он является элементом и в то же время не является элементом , т.е принадлежит дополнению . Отсюда следует, что принадлежит тогда и только тогда, когда он является элементом пересечения . Следовательно справедливо равенство (1.12).

= , . (1.12)

Используя равенства (1.4), (1.10), (1.11), получаем формулы вычисления значений характеристической функции разности множеств (формулы (1.13), (1.14)).

, (1.13)

если в вычислениях использовано логическое произведение.

, (1.14)

если в вычислениях применяется алгебраическое произведение

5. Кольцевая сумма множеств, .

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.