Алгоритм сложения в коде 2-4-2-1

1. Проверить знаки слагаемых – отрицательные перевести в ОК путём инвертирования всех тетрад.

2. Сложить двоично-десятичные числа по правилам двоичной арифметики.

3. Выполнить коррекцию суммы в соответствии с изложенными выше правилами. При коррекции единицы переноса между тетрадами отбрасываются.

4. Проверить знак результата – отрицательный перевести в ПК путём инвертирования тетрад.

Пример.

Сложить десятичные числа А=-63,58 и В=46,74 в коде 2-4-2-1. Масштабируем операнды М=10² и кодируем цифры чисел в ПК:

А^ПК = 1,1100.0011.1011.1110.

В^ПК = 0,0100.1100.1101.0100.

Переводим отрицательное число в ОК и складываем:

А^ОК = 1,0011. 1100. 0100.0001.

В^ОК = 0,0100. 1100. 1101.0100.

1,1000.^(!)1001.^(!)0001.0101. – сумма

0110. 1010.0110. – коррекция

(А+В)^ОК = 1,1110. 0011. 0001.1011.

Сумма отрицательная – переводим её в ПК путём инвертирования тетрад: (А+В)^ПК = 1,0001.1100.1110.0100.

Умножаем на масштаб и получаем верный результат:

А+В=-16,84.

Пентадный код 3а+2

Таблица 5.

В названии кода представлена формула, в соответствии с которой формируются 5-тиразрядные двоичные коды десятичных цифр –пентады ( в формуле а – десятичная цифра).

Обратные коды любой десятичной цифры получаются путём инвертирования двоичной пентады, что подтверждается соотношением:

31-(3а+2)=3(9-а)+2

При алгебраическом сложении десятичных чисел возможны следующие случаи.

1. Нет единиц переноса ни в данную пентаду, ни из данной пентады (С_К = 0, С_К+! = 0): S_К = (3А_К+2)+(3В_К+2)=3(А_К+В_К)+4 –

в результирующей пентаде по сравнению с формулой кода «лишняя» двойка, которую надо вычесть. Следовательно, необходима коррекция кодом -2₁₀=-00010₂=11110_ДК.

2. В данную пентаду есть единица переноса, а из данной пентады нет единицы переноса (С_К=1,С_К+!=0):

S_К = (3А_К+2)+(3В_К+2)+1=3(А_К+В_К+1)+2 –

результат верный, коррекция не нужна.

3. В данную пентаду нет единицы переноса, а из данной пентады есть единица переноса (С_К=0,С_К+1=1):

S_К = (3А_К+2)+(3В_К+2)-32=3(А_К+В_К-10)+2 –

Результат верный, коррекция не нужна.

4. Есть единица переноса и в данную пентаду, и из данной пентады (С_К=1,С_К+1=1): S_К = (3А_К+2)+(3В_К+2)+1-32=3(А_К+В_К+1-10) –

В результирующей пентаде по сравнению с формулой кода нет двойки, которую надо прибавить для получения верной десятичной цифры. Следовательно, необходима коррекция кодом +2₁₀=00010₂.

Алгоритм сложения в коде 3а+2

1. Проверить знаки слагаемых – отрицательные перевести в ОК путём инвертирования пентад.

2. Сложить двоично-десятичные числа по правилам двоичной арифметики, фиксируя единицы переноса из пентады в пентаду.

3. Выполнить коррекцию, прибавляя код 11110 к пентадам, в которые и из которых не формировались единицы переноса, и код 00010 к пентадам, в которые и из которых сформировались единицы переноса. При коррекции единицы переноса между пентадами следует отбрасывать.

4. Проверить знак результата – отрицательный перевести в ПК путём инвертирования пентад.

Пример.

Сложить числа А=-85,7 и В=-39,1 в коде 3а+2. Масштабируем операнды с «запасом» - М=10³, чтобы избежать ПРС при сложении чисел одинакового знака, и кодируем цифры чисел в ПК:

А^ПК = 1,00010.11010.10001.10111.

В^ПК = 1,00010.01011.11101.00101.

Выполняем перевод в ОК и складываем операнды:

А^ОК = 1, 11101. 00101. 01110. 01000.

В^ОК =1, 11101. 10100. 00010. 11010. 11,⁽¹⁾11010.⁽⁰⁾11001.⁽⁰⁾10001.⁽¹⁾00010.

После сложения единицы переноса из знакового разряда с младшей пентадой окончательно Фиксируем переносы между пентадами, чтобы выполнить коррекцию:

1,⁽¹⁾11010.⁽⁰⁾11001.⁽⁰⁾10001.⁽¹⁾00011.⁽¹⁾

Коррекция . 11110. . 00010.

(А+В)^ОК =1, 11010. 10111. 10001. 00101.

(А+В)^ПК =1, 00101. 01000. 01110. 11010.

Умножаем на масштаб и получаем верный результат:

А+В=-124,8.

Сравнение двоично-десятичных кодов

Идеального по всем параметрам двоично-десятичного кода нет: все коды требуют введения коррекции при сложении, причём, выявление признаков коррекции в некоторых кодах является довольно непростой задачей.

Можно выделить совокупность параметров, характеризующих двоично-десятичные коды, и по каждому параметру указать «лучшие» и «худшие» коды. Однако, интегральной характеристики, позволяющей выделить лучший код по совокупности параметров, получить не удаётся в силу того, что затруднительно определить весовые коэффициенты для каждого параметра в этой интегральной характеристике. Кроме того, на выбор кода реально влияют множество трудно учитываемых условий и факторов.

Среди главных параметров рассмотрим следующие.

1. Простота формирования обратного кода, иначе говоря обладание свойством самодополняемости. Здесь можно указать «худший» по этому параметру код – код с естественными весами 8-4-2-1, остальные рассмотренные коды обладают свойством самодополняемости.

2. Простота обнаружения признаков коррекции. Здесь очевидно, что проще зафиксировать единицу переноса, чем выявлять «неправильные» тетрады, как в коде 8-4-2-1, или анализировать тетраду по признаку, больше или меньше она пятёрки, как в коде 2-4-2-1. По этому параметру код 2-4-2-1 самый сложный, за ним по сложности можно поставить код 8-4-2-1.

3. Частота введения коррекции, то есть какая доля тетрад или пентад корректируется. «Худший» по этому параметру код 8-4-2-1+3, который требует коррекции всех 100% тетрад, в остальных рассмотренных кодах корректируется примерно 50% тетрад или пентад.

4. Количество корректирующих кодов: по два таких кода практически во всех рассмотренных двоично-десятичных кодах, поэтому трудно отдать предпочтение какому-либо из кодов.

Умножение двоично-десятичных чисел

В двоично-десятичной арифметике умножение можно выполнять традиционно, взяв за основу известные четыре способа умножения, причём, сдвиги в каждом такте цикла умножения выполняются на один десятичный разряд и вводится соответствующая коррекция. Основной недостаток этого подхода – большое количество операций сложения и, как следствие, невысокое быстродействие.

Большой интерес представляют некоторые оригинальные методы умножения двоично-десятичных чисел, с которыми предлагается познакомиться студентам.

Табличный метод умножения

В основе метода - древнейший способ ручного счёта. При реализации на ЭВМ используются быстродействующие постоянные запоминающие устройства (ПЗУ), построенные по канонической схеме «дешифратор-шифратор». Это обеспечивает высокую однородность арифметико-логического устройства (АЛУ) вычислительной машины.

В ПЗУ хранятся две таблицы, содержащие результаты умножения одноразрядных десятичных чисел: в таблице слева хранятся младшие разряды, справа – старшие разряды произведений.

При умножении с младших разрядов множителя табличным методом образуются два частичных произведения: последовательность цифр младших разрядов и сдвинутая влево на один десятичный разряд последовательность цифр старших разрядов произведения.

Достоинство метода – большое быстродействие за счёт одновременного и независимого образования всех разрядов частичных произведений. К недостаткам метода можно отнести дополнительные затраты памяти для хранения таблиц.

Старорусский метод удвоения-деления пополам

Алгоритмсостоит в удвоении на каждом шаге множимого путём сдвигаего один двоичный разряд влево и делении пополам множителя сдвигом на один двоичный разряд вправо. Алгоритм повторяют до тех пор, пока множитель не станет равным нулю.

Операнды представлены в коде с естественными весами 8-4-2-1 и при сдвигах как влево, так и вправо необходима коррекция.

Сдвиг влево требует такой же коррекции, как и при алгебраическом сложении: для «неправильных» тетрад и для тетрад, из которых сформировались единицы переноса, нужна коррекция кодом +6₁₀=0110₂.

Сдвиг вправо требует коррекции кодом -3₁₀=1101₂ для тетрад, в которые сформировались единицы переноса. Этот корректирующий код образуется как разность между результатом деления пополам 16-ти и нужным результатомделения пополам 10-ти: 8-5=3. Эту разность надо вычесть из тетрад, в которые сформировались единицы переноса.

Основной недостаток метода – невысокое быстродействие из-за множества коррекций.

Пример.

Перемножить десятичные числа 43*38, считая число 43 множителем, и использовать для кодирования десятичных цифр код 8-4-2-1 и старорусский метод умножения.

43₁₀=101011₂=0100.0011._2-10; 38₁₀=0011.1000._2-10

В соответствии с алгоритмом множимое должно сдвигаться влево, поэтому регистр множимого должен иметь дополнительные разряды. Кроме того, операнды положительные – опускаем операцию со знаками.

Примечание.Цифры в младшем разряде множителя после очередного сдвига и коррекции, взятые в обратном порядке, образуют представление множителя в двоичной системе счисления (в таблице эти цифры выделены жирным шрифтом и подчёркнуты). Этот способ можно использовать для перевода чисел из двоично-десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: