Сделай Сам Свою Работу на 5

Типовые расчеты по теории вероятностей и математической статистике.





Задача 1.

1.1. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:

А – появление короля;

В – появление карты красной масти;

С – появление червонного короля;

Д - появление двойки. Зависимы или независимы следующие пары событий: А и В, A и C ? Найти вероятности P(AB) и P(AC) .

1.2. Событие С является частным случаем события В, а событие В-частным случаем события А, т.е.из появления события С c достоверностью вытекает событие В, из которого с достоверностью вытекает событие А. Чему равна сумма этих событий? А+В+С-?

1.3. События А,В и С происходят в некотором опыте. Событие А является частным случаем события В, события В и С имеют общие исходы, а события А и С несовместны. Построить диаграмму Эйлера для этих событий и определить чему равно произведение этих событий? А*В*С-?

1.4. Событие C является частным случаем события В, а событие В- частным случаем события A, т.е.из появления события С c достоверностью вытекает событие В, из которого с достоверностью вытекает событие А. Чему равно событие А*В+С-?

 

1.5. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается 1 карта. Рассматривается события:



A- появление туза;

B – появление карты черной масти;

C – появление трефового короля;

D – появление девятки. Зависимы или независимы следующие пары событий C и D, A и D ? Найти вероятности P(C|D) и P(A|D) .

1.6. По мишени производится 5 выстрелов. Рассматриваются события Аi- попадание при i-ом выстреле (i=1,2,3,4,5). Представить в виде сумм, произведений и сумм произведений событий Аi и Аj следующие события:

А- не меньше двух попаданий;

Е-все пять промахов;

F- хотя бы одно попадание.

1.7. Упростить выражение (А+В)(А+ ).

1.8. Упростить выражение (А+В)(А+ )+( +В)( + ).

1.9. Опыт- извлечение геометрических тел из ящика, в котором находится наглядный учебный материал для уроков стереометрии в школе. Событие А- извлечен цилиндр, В- извлечена пирамида, С- извлечен тетраэдр. Что представляют собой следующие события: А+В, , , ?

1.10. Докажите, что

1.11. Докажите, что (А+В)(А+ )( +В)( + )- невозможное событие.

1.12. Подбрасывается игральный кубик. Событие А- выпадение шести очков, В- выпадение трех очков, С- выпадение четного числа очков, D- выпадение числа очков, кратного трем. Каковы соотношения между этими событиями?



1.13. Дана система S, состоящая из блоков Записать событие S, состоящее в том, что система S исправна.

1.14. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина, событие Вк( к = 1,2) - исправен k-й котел. Событие Созначает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события С и через А и Вк .

1.15. Каковы соотношения между событиями А,В и С, если АВС=А; если А+В+С=А? Дать геометрическую интерпретацию.

1.16. Подбрасывается игральный кубик. Событие А- выпадение шести очков, В- выпадение трех очков, С- выпадение четного числа очков, D- выпадение числа очков, кратного трем. Каковы соотношения между этими событиями?

1.17. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами (к=1,2,...,10), причем r2< r2< ...< r10. Событие Аk – попадание в круг радиусом rk. Что означают события . Что представляет собой событие ?

1.18. Пусть Ai- событие, состоящее в том, что при i-м повторении эксперимента осуществилось событие А; - событие, состоящее в том, что при nпервых повторениях эксперимента событие А осуществилось m раз. Выразить через .

1.19. Имеется электрическая схема

Выразить через события Аi ( i-й контакт замкнут) и ( i-й контакт разомкнут) следующие события: С- лампочка горит и - лампочка не горит.

1.20. Назвать противоположные для следующих событий:

А-выпадение двух цифр при бросании двух монет;



В-появление красного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара.

1.21.Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей. Событие В - в том, что он играет на гитаре, а событие С - в том, что он живет в общежитии. Описать событие АВС. При каком условии будет иметь место тождество АВС=А? Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь место, если все юноши играют на гитаре?

1.22. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А- обнаружен ровно один из четырех объектов;

В- обнаружен хотя бы один объект;

С- обнаружено не менее двух объектов;

D-обнаружено ровно два объекта;

E- обнаружено ровно три объекта;

F- обнаружены все четыре объекта.

Указать, в чем состоят события: А+В, ВF, C+D+EF ?

1.23. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие Аi ( i = 1, 2, 3)– исправен i-й блок первого типа, Вj ( j = 1, 2, 3, 4)- исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует работе прибора.

1.24. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется девушкой . Событие В - в том, что она играет на гитаре, а событие С - в том, что она живет в общежитии. Описать событие А+ВС. При каком условии будет иметь место тождество А+ВС=А? Когда будет равенство А=В? Будет ли оно иметь место, если все девушки играют на гитаре?

1.25. Пусть событие А - падает снег, событие В - идет дождь. Выразить через

А и Вследующие события: а) дождь со снегом; б) дождь или снег; в) нет дождя;

г) ясная погода; д) падает снег без дождя.

1.26. Бросаются две игральные кости: одна черная, а другая белая. Отмечается число очков, выпавших на каждой кости. Сколько элементарных событий соответствует тому, что а) сумма очков больше 10? б) сумма очков - четная?

 

Задача 2.

2.1. В урне a белых и b черных шаров (a≥2). Из урны вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут черными.

2.2. Бросаются одинаковые две игральные кости. Найти вероятность события А-сумма выпавших очков равна 5.

2.3. Бросаются одинаковые две игральные кости. Найти вероятность события А-сумма выпавших очков меньше чем их произведение.

2.4. Найти вероятность угадывания в "Спортлото" 4-х цифр (всего 49 цифр).

2.5. . Бросаются одинаковые две игральные кости. Найти вероятность события А-произведение выпавших очков равно 12.

2.6. В урне a белых и b черных шаров (a≥2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что 1 шар белый, а второй черный.

2.7. Из урны, в которой а белых шаров и в чёрных, вынимают подряд попадающиеся в ней шары. Найти вероятность того, что первый вынутый шар окажется черным.

2.8. В квадрат наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь круга, вписанного в квадрат.

2.9. В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность того, что эти цветки: а) оба белые; б) оба красные; в) разного цвета; г) одного цвета.

2.10. На складе имеется 25 кинескопов, причем 12 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

2.11. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

2.12. .В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а)одно окрашенное; б)два окрашенных изделия; в)хотя бы одно окрашенное изделие.

2.13. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

2.14. Студент знает 30 из 35 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором четыре вопроса.

2.15. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку отлично, 10 - оценку хорошо, 9 учеников - оценку удовлетворительно, 5 учеников - оценку неудовлетворительно. Какова вероятность того, что три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительную оценку по контрольной работе?

2.16. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются, из них извлекаются по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

2.17. В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд. Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?

2.18. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

2.19. На семи карточках написаны цифры: 1,2,3,4,5,6,7. Две из них вынимаются. Первая карточка после вынимания кладётся обратно и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет меньше, чем на первой.

2.20. Наблюдением установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 22 дождливых дня . Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 11 дней 3 дня окажутся дождливыми?

2.21. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность того, что две команды экстракласса попадут в одну группу, а три – в другую.

2.22. В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за другим вынимаются все шары, находящиеся в урне. Найти вероятность того, что последний вынутый шар будет черным.

2.23. В группе студентов 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого в списке группы находится на первом месте, окажется девушкой?

2.24. Какова вероятность того, что номер билета студента четный? Делится на пять? Оканчивается нулем? (Предполагается, что студенческих билетов достаточно большое число).

2.25. В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, три бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе 4 изделий одновременно все они окажутся небракованными. Какова вероятность того, что бракованных и небракованных изделий окажется поровну?

2.26. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется 5 лампочек повышенного качества. В выборку отбирается 7 лампочек. Какова вероятность того, что в этой выборке окажется 3 лампочки повышенного качества?

 

Задача 3.

3.1. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в каждой пачке окажется по две дамы.

3.2. Из семи букв разрезанной азбуки составлено слово “ пингвин “. Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово “ пингвин “.

3.3. Из девяти букв разрезанной азбуки составлено слово “чемпионат “. Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово “ чемпионат “.

3.4. . Из ящика, содержащего n перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим находящиеся в нем изделия, каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другим, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,2..., n.

3.5. Из семи букв разрезанной азбуки составлено слово “ афоризм “. Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово “ афоризм “.

3.6. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой – все четыре.

3.7. В партии, состоящей из 36 изделий, имеется 10 дефектных. Из партии выбираются 7 изделий. Найти вероятность р того, что из них ровно 4 изделия будут дефектными.

3.8. На 10 из 20 карточек написана цифра “1”, а на остальных 10 - цифра “0”. Пять карточек вынимают наугад. Найти вероятность того, что на двух карточках будет стоять цифра “1”, а на трех - цифра “0” (безразлично в каком порядке).

3.9. Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что: а) все изделия годные, б) среди выбранных изделий одно бракованное; в) все изделия бракованные.

3.10. Точка брошена в область F, ограниченную эллипсом . Какова вероятность того, что она попадет в область f, ограниченную этим эллипсом и параболой ?

3.11. Точка брошена в область F, ограниченную эллипсом . Какова вероятность того, что она попадет в область f, ограниченную этим эллипсом и эллипсом ?

3.12. Задуманы два положительных числа, каждое из которых не больше двух. Какова вероятность, что их сумма не превзойдет двух, а произведение будет не больше 4/9?

3.13. В шар радиуса R вписан цилиндр с радиусом основания R/2. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в цилиндр.

3.14. Найти вероятность попадания точки в область, ограниченную прямой и параболой .

3.15. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые будут распределены по жребию для игры в двух группах по 10 человек. Какова вероятность, что двое наиболее сильных участников турнира будут играть в разных группах?

3.16. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три окрашенные грани.

3.17. В автобусе 5 пассажиров. Найти вероятность того, что на каждой из оставшихся 5 остановок будет сходить по одному пассажиру. Предполагается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой из остановок.

3.18. В прямоугольник с вершинами R(-2,0), L(-2,9),M(4,9), N(4,0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенству .

3.19. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 24 команды, из которых случайным образом формируется две группы по 12 команд в каждой. Среди участников соревнований есть 9 команд экстракласса. Найти вероятность следующего события: все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу.

3.20..Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг : а) правильного шестиугольника; б) правильного четырехугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

3.21. Два охотника стреляют в лисицу , причем каждый делает по одному выстрелу . Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,75, для второго-0,65. Какова вероятность попадания в лисицу ( хотя бы при одном выстреле)?

3.22. В партии готовых изделий, содержащей 20 штук, имеется 4 бракованных. Партию делят на две равные части. Какова вероятность, что бракованные изделия разделятся поровну?

3.23. В первом ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Во втором ящике -шары с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не меньше 7? Какова вероятность того, что сумма номеров равна 11 ?

3.24. Какова вероятность того, что взятый наудачу год содержит 53 воскресенья, если это год не високосный; високосный?

3.25. Найти вероятность того, что среди пяти случайно взятых цифр нет совпадающих.

3.26. В магазине работает 10 продавцов, из них 6 женщин. В смену заняты 3 продавца. Найти вероятность того, что в наудачу укомплектованную смену войдут все 3 продавца мужчины.

Задача 4.

4.1. Происходит воздушный бой между бомбардировщиком и тремя атакующими его истребителями. Стрельбу начинает бомбардировщик: он дает по каждому истребителю один выстрел и сбивает его с вероятностью р1. Если данный истребитель не сбит, то он независимо от судьбы другого стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р2. Определить вероятность следующих исходов боя:

А - сбит бомбардировщик;

В – сбиты все три истребителя.

4.2. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Поверхности баков одинаковы. Чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

4.3. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя бы один окажется неоплаченным.

4.4. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми.

4.5. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

4.6. Электрическая цепь имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент, соединенный с ними последовательно. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение заданного времени равна 0,8. Отказ каждого элемента не зависит от отказа других. Определить вероятность безотказной работы всей цепи.

4.7. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

4.8. Прибор состоит из шести независимо друг от друга работающих блоков, соединенных по следующей схеме:

Вероятность отказа i-ого блока равна pi (i=1,2,3,4,5,6) Определить вероятность того, что прибор будет работать.

4.9. На 50 одинаковых жетонах написаны 50 чисел от 1 до 50. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 7 или 11?

4.10. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний . Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,7; второе-с вероятностью 0,95;третье-с вероятностью 0,96 и четвертое- с вероятностью 0,88. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно не более трех испытаний.

4.11. Прибор состоит из шести независимо друг от друга работающих блоков, соединенных по следующей схеме:

Вероятность отказа i-ого блока равна pi (i=1,2,3,4,5,6) Определить вероятность того, что прибор будет работать.

4.12. Определить вероятность того, что наудачу взятое трехзначное число окажется кратным либо 5, либо 7, либо тому и другому одновременно.

4.13. Из урны, содержащей 7 зеленых и 4 красных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность Рk того, что красный шар впервые появится при k-ом испытании (k=1,2,3,4)

4.14. Имеется электроприбор, который может выходить из строя (перегорать) только в момент включения. Если прибор включался до сих пор к-1 раз и ещё не перегорел, то условная вероятность ему перегореть при к-ом включении равна Qк. Найти вероятность следующего события: А-прибор выдержит не менее 11 включений.

4.15. Прибор состоит из шести независимо друг от друга работающих блоков, соединенных по следующей схеме:

Вероятность отказа i-ого блока равна pi (i=1,2,3,4,5,6) Определить вероятность того, что прибор будет работать.

4.16. . Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке - 0,04, на втором - 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на каждом станке, ни одного не будет бракованного.

4.17. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырех попаданий при четырех выстрелах.

4.18. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя.

4.19. Из полной колоды (52 карты) вынимают одновременно три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт найдется хотя бы одна карта красной масти.

4.20. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 детали -заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

4.21. Испытуемому предлагается два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны: 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решен (тесты решаются независимо друг от друга).

4.22. Происходит бой между двумя участниками А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В - один. Начинает стрельбу А: он делает по В один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то он делает по В свой последний выстрел и поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен участник А, участник В?

4.23. Радист трижды вызывает корреспондента, причем последующий вызов производится при условии, что предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3; второй 0,4 и третий 0,5.Определить вероятность вызова корреспондента.

4.24. . В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

4.25. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранной смене окажется не менее двух мужчин.

4.26. Группа состоит из двух стрелков. Определить вероятность попадания в цель каждым стрелком, если известно, что вероятность совместного попадания в цель при условии, что каждый сделает, независимо друг от друга, по одному выстрелу, равна 0,56, а вероятность совместного промаха 0,06.

 

Задача 5.

5.1. Группа студентов состоит из 10 отличников, 15 хорошо успевающих и 21 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут с равной вероятностью получить хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад два студента. Найти вероятность того, что они получат отметки хорошо и удовлетворительно (в любом порядке).

5.2. В ящике находится а новых теннисных мячей и в игранных . Из ящика наугад вынимаются три мяча , которыми играют . После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад три мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.

5.3. В группе студентов из 35 человек 25% блондинов , 34% шатены, а остальные – брюнеты. Известно , что блондины достаточно часто, в среднем 25 раз в год, посещают салоны красоты , чтобы обновить свою прическу , брюнеты захаживают в салоны красоты с той целью в среднем 12 раз в год, а шатены – всего лишь 5 раз в год. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент группы придет 15 мая в институт с новой прической.

5.4. На фабрике изготавливают болты . Первая машина производит 25%, вторая -35%, третья-40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%,4% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

5.5. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей- на заводе №2 и 18 деталей- на заводе №3.Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1 , отличного качества , равна 0,9, для деталей , изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

5.6. В пирамиде пять винтовок , три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена , если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5.7. Имеются две урны: в первой 5 белых шаров и 11 черных; во второй 6 белых и 6 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

5.8. Три самолета-штурмовика ведут огонь по наземной мишени, ориентируясь на команду "огонь", подаваемую с командного пункта. Вероятности попадания для каждого из самолетов равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Команда "огонь" подается в два раза чаще первому самолету, чем второму и третьему в отдельности. Найти вероятность того, что мишень окажется непораженной.

5.9. Попадание случайной точки в любую часть области S пропорционально площади этой части, а область S состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50 %, 30 %, 12 % и 8 % всей области. При испытании имело место событие A, которое происходит только при попадании случайной точки в одну из этих частей с вероятностями, соответственно 0,01; 0,05; 0,2 и 0,5. В какую из частей области вернее всего произошло попадание.

5.10. На вход радиолокационного устройства с вероятностью “P” поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1-P) - только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью P1, если только помеха - с вероятностью P2. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

5.11. Группа студентов состоит из “a” отличников, “b” хорошо успевающих студентов и “c” занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

5.12. Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: 1 и 2. Вероятность попадания в цель 1 равна P1, в цель 2 - P2. После выстрела получено известие, что попадание в цель 1 не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель 2?

5.13. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: H1, H2, H3, H4. Согласно, статистике, . Обнаружено, что в ходе катастрофы произошло воспламенение горючего, причем вероятности воспламенения горючего по каждой из четырех гипотез, согласно той же статистике, соответственно равны 0,9; 0; 0,2; 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез.

5.14. Объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н1 и Н2. Априорные вероятности этих состояний . Имеются два источника информации, которые дают разноречивые сведения о состоянии объекта: первый источник сообщает, что объект в состоянии Н1 , второй - в состоянии Н2. Первый источник вообще дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90 % случаев и только в 10 % ошибается. Второй источник менее надежен: он сообщает правильные сведения в 70 % случаев, а в 30 % ошибается. На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности состояний Н1 и Н2.

5.15. Три стрелка готовятся к выстрелу. Каждый раз вызывается только один стрелок. Вероятность вызова на рубеж первого стрелка составляет 0,3, второго - 0,5 и третьего - 0,2, а вероятности попадания соответственно 0,4; 0,3; 0,5. Для уничтожения цели достаточно одного попадания. Какова вероятность того, что цель окажется непораженной?

5.16. Передаваемое сообщение закодировано таким образом, что 1 соответствует передаваемое "тире", а 0 - "точка". На линию связи накладываются помехи таким образом, что искажаются 2/5 сообщений "точка" и 2/3 сообщений "тире". Известно, что "точки" и "тире" встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал "точка".

5.17. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями где . Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

5.18. Из урны, в которой имеется 4 черных и 6 белых шаров, потерян шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее извлекли наудачу 2 шара. Они оказались белыми. Найти вероятность того, что был утерян белый шар. Решить эту задачу при условии, что были извлечены не два белых, а два черных шара.

5.19. В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2, 18 деталей завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,9, для деталей заводов № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

5.20. В двух одинаковых урнах имеется по n шаров белых и m черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Во второй урне шары перемешиваются и один шар перекладывают в первую урну. Затем из первой урны извлекают один шар. Определить вероятность того, что шар белый.

5.21. Три торпедных катера атакуют авианосец. Каждый катер выпускает по одной торпеде. Вероятность попадания торпеды в авианосец равна 0,7. Потопление авианосца при попадании трех торпед происходит с вероятностью 0,9, двух торпед - с вероятностью 0,6 и одной торпеды - с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что потопление корабля произошло в результате попадания в корабль двух торпед.

5.22. После предварительного контроля деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,40. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,04, на третьей - 0,05. Найти вероятность получения не бракованной детали после обработки.

5.23. Вероятность попадания снаряда в башню танка при одном выстреле равна - 0,2, в корпус - 0,6 и в гусеницу - 0,1. При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3, в корпус - с вероятностью 0,1 и в гусеницу - с вероятностью 0,4. Одним выстрелом танк был поражен. Определить вероятность того, что снаряд попал в башню; в корпус; в гусеницу.

5.24. Узлы подвески поступают на общий конвейер с двух участков. Вероятность брака узла с первого участка 0,05, со второго - 0,1. Второй участок имеет производительность в 2,5 раза больше, чем первый. Рабочий взял с конвейера подвеску и она оказалась годной. Какова вероятность того, что этот узел изготовлен на первом участке?

5.25. В двух ящиках лежат однотипные детали: в первом ящике 8 исправных и 2 бракованные, во втором - 6 исправных и 4 бракованные. Из первого ящика наудачу взяты 2 детали, а из второго - 1 деталь. Детали, перемешав, поместили в третий ящик, откуда наугад взяли одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь исправна.

5.26. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Он оказывается черным. Какова вероятность того, что он извлечен из первой урны?

Задача 6.

6.1.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из пяти касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны, соответственно p1, p2, p3, p4, p5. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассе еще будут билеты равна для первой кассы Р1, для второй Р2, для третьей Р3, для четвертой Р4, для пятой Р5. Пассажир направился в одну из касс и билетов там не оказалось. Найти вероятность того, что это была первая касса.

6.2. В группе из 20 студентов , пришедших на экзамен , 6 подготовленных отлично , 7-хорошо, 5-посредственно и 2-плохо. В экзаменационных билетах имеется 40 вопросов . Отлично подготовленный студент может ответить на все 40 вопросов , хорошо подготовленный - на 32 вопроса , посредственно -на 16 , плохо-8. Вызванный наугад студент на три произвольно заданных вопроса . Найти вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.

6.3. На фабрике изготавливают болты . Первая машина производит 25%, вторая -35%, третья-40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%,4% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный дефектный болт был изготовлен на третьей машине?

6.4. В группе студентов из 35 человек 25% блондинов , 34% шатены, а остальные – брюнеты. Известно , что блондины достаточно часто, в среднем 25 раз в год, посещают салоны красоты , чтобы обновить свою прическу , брюнеты захаживают в салоны красоты с той целью в среднем 12 раз в год, а шатены – всего лишь 5 раз в год. Какова вероятность того, что 15 мая в институт с новой прической придет блондин?

6.5. В пирамиде пять винтовок , три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена из винтовки с оптическим прицелом.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.