Диапазоны значений целых чисел со знаком

Лекция 4. Арифметические основы компьютеров

Лекция 1

Система счисления.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры, определяющий значение числа, не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХ (тридцать ) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, представляющих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Число 757,7 означает по сути сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

В десятичной системе используется десять различных цифр. Однако

возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в системе счисления с основанием - qозначает сокращенную запись выражения в общем виде:

a_n-1 a_n-2…. a₁ a₀ , a_-1 a_-2… a_-m=a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры числа в системе счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Целые числа в позиционных системах счисления.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью общего Правила счета:

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Системы счисления для компьютера.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

· шестнадцатеричная (для первых десяти цифр от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих цифр — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Для технической реализации в компьютерах используется двоичная система счисления, потому, что она намного проще десятичной в реализации:

а) для нее нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

б) возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы использовать компьютер, следует понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Например: 153₈ = 001 101 011_{2 .}

Например: 010 100 111₂ = 247_{8 .}

Перевод целого числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления.

Пример: Перевести число 75₁₀ из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

2 8 16

75 | 1 75 | 3 75 | B (11)

37 | 1 9 | 1 4 | 4

18 | 0 1 | 1 0 |

9 | 1 0 |

4 | 0 /\

2 | 0 |

1 | 1 |

0 |

Пеpевод пpавильной десятичной дpоби в любую

Другую позиционную систему счисления.

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод числа. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку памяти.

Пример: Перевести число 0,35₁₀ из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Например: 0,35₁₀ *8 = (0,) (2),8*8 = (6),4*8 = (3),2 = 0,263₈

0,35₁₀ *2 = (0,) (0),7*2 = (1),4*2 = (0),8*2=(1),6*2=(1),2*2=(0),4=0,010110₂

0,35₁₀ *16 = (0,) (5),6*16 = (9),6 = 0,59₁₆

Ответ: 0,35₁₀ = 0,010110₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆ .

Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную.

Примеp: 113₈ = 1*8² + 1*8¹ + 3*8⁰ = 64+ 8 + 3 = 75₁₀.

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе— это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила также применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение

Для сложения используется следующее Правило Счета - при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то переносится влево единица.

Пример 1. Сложим целые числа 15₁₀ и 6₁₀ в различных системах счисления.

17₈ (15₁₀) F₁₆ (15₁₀) 1111₂ (15₁₀)

+ 6₈ + 6₁₆ + 110₂

----- ------------ -----------

25₈ (13₁₀-8₁₀=5₈) 15₁₆ (21₁₀-16₁₀=5₁₆) 10101₂

Ответ: 15₁₀ + 6₁₀ = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = F₁₆+6₁₆ = 15₁₆.

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду и получим в результате число 21₁₀:
10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1 = 21₁₀,
25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21₁₀,
15₁₆ = 1*16¹ + 5*16⁰ = 16+5 = 21₁₀.

Пример 2. Сложим в различных системах счисления вещественные числа 141,5₁₀ и 59,75₁₀.

Ответ: 141,5₁₀ + 59,75₁₀ = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

8 0,25₁₀ *8= 0, (2),0 = 0,2₈

201 | 1

25 | 1

3 | 3

0 | 311₈ +0,2₈ = 311,2₈

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 128+64+8+1+ 0,25= 201,25₁₀

311,2₈ = 3*8² + 1•8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 192+8+1+0,25= 201,25₁₀

C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 192+9+0,25= 201,25₁₀

Вычитание

Операция вычитания является обратной по отношению к сложению.

Пример 3.

Вычтем единицу из чисел в разных системах счисления: 10₂, 10₈ и 10₁₆ :

10₂ – 1₂ = 1₂ ; 10₈ - 1= 7₈ ; 10₁₆ - 1 = F₁₆ .

Пример 4. Вычтем число 59,75₁₀ из числа 201,25₁₀.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

8 0,5₁₀* 8 = 0, (4)0 = 0,4₈

141 | 5

17 | 1

2 | 2

0 | 215₈ + 0,4₈ = 215,4₈

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 128+8+4+1+0,5= 141,5₁₀;
215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 128+8+5+0,5= 141,5₁₀;
8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 128+13+0,5= 141,5₁₀.

Умножение

Правило. Для умножения многозначных чисел в различных позиционных системах счисления можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик ( как в десятичной системе счисления), но при этом перемножение и сложение чисел необходимо выполнять по правилам арифметики уже новой системы счисления.

Умножение столбиком в двоичной системе сводится к сдвигам множимого и сложениям по раздядам.

Пример 7. Перемножим числа 5₁₀ и 6₁₀.

Ответ: 5₁₀*6₁₀ = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

2 или 101₂ (5₁₀)

30₁₀ | 0 *110₂ (6₁₀)

15 | 1 ------------

7 | 1 000₂

3 | 1 101

1 | 1 101

0 --------------

11110₂

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30₁₀

36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 30₁₀.

Деление

Правило. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление уголком в десятичной системе, но с особенностями новой системы счисления.

Пример8. Разделим число 30₁₀ на число 6₁₀.

Ответ: 30₁₀ : 6₁₀ = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 9. Разделим число 35₁₀ на число 14₁₀, здесь 35₁₀ = 43₈ , 14₁₀= 16₈ .

35₁₀ : 14₁₀ = 2,5₁₀

В восьмеричной же системе: 43₈ : 16₈ = 2,4₈.

Действительно, в результате деления уголком получаем:

43₈ |16₈ 16₈ 16₈

34₈ 2,4 * 2 * 4

70₈ 34₈ (6*2=12₁₀ = 14₈) 70₈ (6*4 = 24₁₀ = 30₈)

70₈ (1*2+1=3) (1*4+3 = 7)

Ответ: 35₁₀ : 14₁₀ = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Для проверки преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5₁₀;
2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5₁₀.

Лекция 2

Представление в компьютере целых чисел.

Целые числа могут представляться в компьютере в двоичной системе счисления со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂ , а в двухбайтовом формате — от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Примеры:

а) число в однобайтовом формате: 72₁₀ = 110₈ = 01001000₂

б) это же число в двубайтовом формате: 72₁₀ = 0000000001001000₂

в) число 65535 в двубайтовом формате: 65535₁₀ = 1111111111111111₂

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное представление.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например: -53₈ =10101011₂.

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например: -53₈ = 01010100₂.

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Например: -53₈ =

01010100₂

+ 00000001₂

¾¾¾¾¾¾

= 01010101₂

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: