|
|
Метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.Для приближенного решениядифференциального уравнения применяют ряд Тейлора или Макларена в зависимости от начального условия Решение записывают в виде бесконечного ряда
После вычисления коэффициентов получают решение в виде степенного ряда с постоянными коэффициентами. Далее вычисляют значения функции для заданных значений аргумента с заданной точностью. Решение дифференциального уравнения записывают дискретно. ПРИМЕР 4.2. Найти приближенное решение дифференциального уравнения РЕШЕНИЕ. Имеем дифференциальное уравнение первого порядка.
Находим коэффициенты ряда.
Видим, что далее коэффициенты повторяются. Получили решение в виде бесконечного степенного ряда
Запишем первые пять членов ряда:
Вычисляем значения этой функции для заданных значений аргумента. При
Заменяем неравенством
= В фигурных скобках имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем Остаток Следовательно, для вычисления значения функции достаточно взять четыре члена (считая нулевой). При При
Таким образом, решение дифференциального уравнения:
V.ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДАХ ИХ РЕШЕНИЙ.
где искомые функции,
Система (5.1.), в которой левые части уравнений содержат производные первого порядка, а правые части производных не содержат, называется нормальной. Система, в которой правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно Решить (проинтегрировать) систему – значит определить функции
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению Система(5.1.) решается следующим образом. 1) Дифференцируют по аргументу 2) Заменяют в полученном дифференциальном уравнении 2-го порядка производные 3) Из 1 – го уравнения системы(5.1.) выражают
Дифференцируют это уравнение. Заменив в нем
4) Продолжая дифференцировать и заменять переменные Решив данное уравнение, находят 5) Последовательно находят
ПРИМЕР 5.1. Проинтегрировать систему При начальных условиях: РЕШЕНИЕ. Дифференцируя по Подставляем в это уравнение функции Из первого уравнения системы получаем:
или Находим общее решение однородного уравнения.
2
Получили
Находим вторую переменную.
Общее решение исходной системы:
Находим частное решение по начальным условиям.
Частное решение:
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы. Этот метод называется методом интегрируемых комбинаций. ПРИМЕР 5.2. Проинтегрировать систему РЕШЕНИЕ. Дифференцируя по Исключаем переменные
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Находим
Из третьего уравнения исходной системы получаем:
После преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
Подставив в
Таким образом, решение системы:
Существуют и другие методы решения систем дифференциальных уравнений.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1997. 2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. М.: ИНФРА-М, 1998. 3.Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. М.: ИНФРА-М, 2000. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для ВТУЗОВ. М.: Физматгиз,1963. 5. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. 6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М.: Высшая школа,1980. 7.Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2001. 8.Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2001
СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения теории дифференциальных уравнений………..3 1.1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений……….3 1.2. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям…………………………………………………………………..6 1.2.1. Задача об эффективности рекламы………………………………...6 1.2.2. Задача о спросе и предложении………………………………….…7 11.Дифференциальные уравнения 1-го порядка……………………....8 2.1.Теорема о существовании и единственности решения………….…8 2.2.Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и методы их решения…………………………………………………………………...8 2.2.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.9 2.2.2.Дифференциальные уравнения вида 2.2.3. Неполные дифференциальные уравнения, не содержащие переменную 2.2.4. Неполные дифференциальные уравнения, не содержащее переменную 2.2.5. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка………11 2.2.6. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка…………13 2.2.7. Уравнения Бернулли………………………………………………..14 111. Дифференциальные уравнения высшего порядка……………..16 3.1.Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка…………………………………………………………16 3.1.1. Дифференциальные уравнения вида 3.1.2. Дифференциальные уравнения вида 3.1.4. Дифференциальные уравнения вида 3.2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка…….19 3.2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами………………………………………….20 3.2.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………………………22 3.2.2.1. Метод подбора частного решения по виду правой части……….23 3.2.2.2. Метод вариации произвольных постоянных…………………….27 1V. Методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………………………….31 4.1.Методы Эйлера и Рунге-Кутта……………………………………...31 4.2. Метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов………………………………………………………………………...35 V. Понятие о системах дифференциальных уравненийи методах их решений………………………………………………………..37 Рекомендуемая литература ……………………………………………42 РОСЖЕЛДОР 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
. Так, если 
, то применяют ряд Макларена, если 
, то - ряд Тейлора.
Значение 
= 
находят, подставив 
и 
в исходное дифференциальное уравнение. Значения остальных производных в точке 
для аргумента 
с точностью 
, если 
.
получаем 
Для вычисления взяты 4 члена ряда. Убедимся, что этого достаточно, то есть сумма отброшенных членов не превышает погрешности вычисления. Для этого рассмотрим остаток 
(считая первое слагаемое нулевым членом)
. Сумма членов такой прогрессии 
.
получаем 
+ 
получаем
При решении многих задач требуется найти функции 
, которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида: 
(5.1.)
, называется линейной.
(5.2.)
- го порядка, содержащему одну неизвестную переменную. Это достигается дифференцированием одного из уравнений системы и исключением из него всех неизвестных, кроме одного. Этот метод называется методом исключений.
их выражениями из (5.1.) и получают: 
(5.3.)
и подставляют в (5.3.). Таким образом исключается переменная 
, из которого исключают 
.
, получают дифференциальное уравнение 
(5.4.)
= 
и записывают решение в виде системы
, (5.5.)
= 
.
и 
из исходной системы. Получаем: 
и подставляем в предыдущее уравнение:
- линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1- го порядка с постоянными коэффициентами 
.
Находим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части. 1 
1 
первое уравнение находим: 
Решаем его через характеристическое уравнение
Решение однородного дифференциального уравнения: 
. Для чего сначала находим 
, дифференцируя 
.
. Подставив в 1-е уравнение исходной системы, находим: 
Решаем его методом Бернулли, выполнив замену: 
.
.
,
……….10
……………..16
…17 3.1.3. Дифференциальные уравнения вида 
..18