Сделай Сам Свою Работу на 5

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.





Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид (2.12.)

где некоторые непрерывные функции от переменной

Такие уравнения обычно решаются методом Бернулли. При этом выполняется замена: (2.13.)

Тогда получаем:

Далее группируют второе и третье слагаемые: и находят такое частное решение , которое обращает выражение в скобках в ноль.

Заметим, что произвольную постоянную "с" здесь не записывают.

Решение подставляют в уравнение, помеченное знаком , и находят переменную , в которую записывают произвольную постоянную "с".

Затем составляют решение

ПРИМЕР 2.10. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ. Разделив обе части на , получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Замена: Получаем:

Подставляем в уравнение :

Следовательно - общее решение.

ПРИМЕР 2.11. Решить дифференциальное уравнение .

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Выполняем замену

Подставляем в и находим :

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

ПРИМЕР 2.12.

Решить дифференциальное уравнение .



РЕШЕНИЕ. Имеем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Выполняем замену

 

Окончательно:

2.2.7. Уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли имеет вид : , (2.14.)

где - рациональное число

Оно решается методом Бернулли, рассмотренным в 3.2.6.

ПРИМЕР 2.13. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ. Имеем уравнение Бернулли.

Выполняем замену

.

 

Подставляем в уравнение, помеченное знаком

+

Таким образом,

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. 3.1.Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.

Внекоторых случаях решение дифференциальных уравнений высшего порядка может быть сведено к последовательному решению дифференциальных уравнений 1-го порядка. В этом случае говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

Рассмотрим способы решения дифференциальных уравнений высшего порядка некоторых видов.

3.1.1. Дифференциальные уравнения вида (3.1.)

Уравнение не содержит переменной и её производных более низкого порядка



Такое дифференциальное уравнение решается - кратным интегрированием.

Так, для уравнений второго порядка .

ПРИМЕР 3.1. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ. Дважды интегрируем правую часть.

- общее решение.

ПРИМЕР 3.2. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям:

РЕШЕНИЕ. Находим общее решение.

Находим частное решение по начальным условиям.

;

Частное решение:

Заметим, что это же уравнение можно решить и так:

ПРИМЕР 3.3. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям:

РЕШЕНИЕ. Применим метод, рассмотренный в последнем примере.

=

Дифференциальные уравнения вида

(3.2.)

Уравнение не содержит переменной и её производных порядка ниже . Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, то есть полагая (3.3.)

Тогда получим дифференциальное уравнение порядок которого на единиц ниже

ПРИМЕР 3.4. Решить дифференциальное уравнение

РЕШЕНИЕ. Полагаем , тогда . Выполнив замену, получаем уравнение: дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

 

Возвращаемся к прежней переменной, выполняя обратную замену.

общее решение.

Дифференциальные уравнения вида

(3.4.)

Данное дифференциальное уравнение не содержит переменной . Порядок уравнения можно понизить на единицу заменой:

где ; (3.5.)

Эти производные находят по правилу дифференцирования сложных функций.

ПРИМЕР 3.5. Решить дифференциальное уравнение



РЕШЕНИЕ. Полагаем , тогда . Выполнив замену, получаем уравнение: дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Выполняем обратную замену:

- общее решение, в котором

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.