Производная сложной функции.

Если у есть функция от U, т.е. y = f(U), где U в свою очередь есть функция от х, т.е. U = g(x), тогда у называют сложной функцией от х.

у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Пример: Найти производную сложной функции

А) ;

Б)

Решение:

А) воспользуемся формулой , где

Б) воспользуемся формулой , где

Производная высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка, или первой производной.

Тогда производная от первой производной называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается , , .

Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) – порядка.

или

Пример:Найти производные второго и третьего порядков

Решение:

Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции , которая отличается от приращения на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем , и обозначается .

Таким образом, зная производную функции, можно найти ее дифференциал по формуле и, обратно, зная дифференциал функции, можно найти ее производную по формуле

Пример. Найти дифференциал функции

Решение:

Формулы дифференцирования:

Элементарных функций	Сложных функций

Лекция 7. Исследование функции с помощью производной

Признак монотонности функции:

Если для любых x₁, х₂ из условия x₁< х₂ следует неравенство f(x₁)<f( х₂) ( f(x₁)>f( х₂)), то функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке .

Рис.7.1. Возрастающая функция Рис.7.2. Убывающая функция

Теорема 1.Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на интервале , достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство:

Теорема 2.Для того чтобы дифференцируемая функция была убывающей на интервале , достаточно, чтобы во всех точках выполнялось равенство:

Отыскание точек локального экстремума функции:

Точка x₀называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует некоторая окрестность этой точки, в которой для всех x выполняется неравенство при .

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума).Если функция f(x) имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(x₀)=0.

Точки, в которых производная функции равна нулю, принято называть точками возможного экстремума (стационарные точки).

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума).Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x_0.Тогда если f '(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума, если f '(x) в точке x₀ меняет знак с «-» на «+», то - точка локального минимума, если же знак f '(x) в точке x₀ не изменяется, то в точке экстремума не существует.

Направление выпуклости и точки перегиба графика функции:

График функции f '(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).

Теорема 5.Если функция f '(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и во всех точках (a, b), то график функции имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка M(x_0;f(x₀)) называется точкой перегибаграфика функции f '(x),если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пределах которого график функции слева и справа от точки x₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба).Пусть график функции f '(x) имеет перегиб в точке M(x_0;f(x₀)) и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f"(x₀) в точке x₀ обращается в нуль, т.е. f"(x₀)=0.

Точки M(x_0;f(x₀)) графика, для которых f"(x₀)=0, называются критическими.

Теорема 7 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке М .

Пример:Указать, каким условиям удовлетворяет график функции.

Решение:

- график функции расположен выше оси ОХ

– график функции возрастает

- график функции выпуклый

- график функции расположен ниже оси ОХ

– график функции убывает

- график функции вогнутый

Пример:Исследовать функцию с помощью первой и второй производной.

y = 2 - 3x + x³

Решение:

1) D(f): x R

2)

3) Исследуем функцию с помощью первой производной:

А) – приравниваем производную к нулю

, тогда - критические точки первого рода

Б

x

+

_

+

-1 1 max min

Знак f ‘(x) Поведение f(x) Поведение f(x)

) Определим знак производной на интервалах

на этом интервале возрастает

на этом интервале убывает

на этом интервале возрастает

Т.к. при переходе через x₁ = -1 производная меняет знак с «+» на «-» x₁ = -1 - точка максимума, а при переходе через x₂ = 1 производная меняет знак с «-» на «+» x₂ = 1 – точка минимума.

Найдём значение функции в этих точках:

f _max(-1) = 2-3(-1) + (-1)³ = 2 + 3 – 1 = 4

f _min(1) = 2 - 3 1+1³ = 2 – 3 + 1 = 0

Тогда, max(-1;4) ; min(1;0)

при - функция возрастает

при x Î (-1;1) - функция убывает

4) Исследуем с помощью второй производной (на выпуклость, вогнутость и точки перегиба):

найдём :

А)

Б) приравняем (вторую производную к нулю)

6x = 0

x = 0 - критическая точка второго рода

В) определим знаки второй производной на интервалах

Знак f ‘’ (x) - + Поведение х f(x) 0

график выпуклый

график вогнутый

x = 0 – точка перегиба

Тогда:

На интервале хÎ - график выпуклый

На интервале хÎ(0;+ - график вогнутый

(0;2) - точка перегиба

5) Построим график данной функции: y = 2 - 3x + x³

Лекция 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Неопределенный интеграл

Функция F(х) является первообразной для функции f(х) на заданном промежутке, если для всех значений х из заданого промежутка выполняется условие:

Если функция F(х) – первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла:

Формулы интегрирования:

5.
6.

10.

11.

12.

13.

14.

Методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование. То есть интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

2. Если подынтегральная функция является дробью, у которой числитель есть производная от знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму от знаменателя.

3. Метод замены переменной. То есть переменная интегрирования заменяется новой переменной в результате чего интеграл переходит в другой интеграл, более простой, чем начальный.

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

А) Метод непосредственного интегрирования (используя формулы интегрирования):

1) .

2) .

3) .

Б) Если числитель подынтегральной функции f(x) равен производной знаменателя:

В) Метод замены переменной (метод подстановки):

Определенный интеграл.

Приращение F(b) – F(a) любой из первообразных функций F(x) + С при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом, и обозначается:

Таким образом

где

a - нижний предел интеграла,

b - верхний предел интеграла.

Для вычисления определённого интеграла нужно найти соответствующий неопределённый интеграл, в полученное его выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определённого интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: