В14. Мода и медиана непрерывной случайной величины.

Мода ( ) непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой ( ) непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:

.

.

В15. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики. Биномиальное распределение описывает повторяющиеся независимые опыты. Этот закон определяет появление события раз при независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом из этих опытов не изменяется от опыта к опыту. Вероятность:

,

где: – известная вероятность появления события в опыте, не изменяющаяся от опыта к опыту;

– вероятность непоявления события в опыте;

– заданное число появления события в опытах;

– число сочетаний из элементов по .

В15. Равномерный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики. Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:

Дисперсия может быть вычислена следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:

.

В17. Показательный закон распределения, графики функции и плотности распределения, числовые характеристики. Показательным распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

,

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, получаем на основании общей формулы с учетом того, что при :

.

Интегрируя это выражение по частям, находим: .

Дисперсию для экспоненциального распределения можно получить, используя выражение:

.

Подставляя выражение для плотности вероятности, находим:

Вычисляя интеграл по частям, получаем: .

В16. Нормальный закон распределения, графики функции и плотности распределения. Стандартное нормальное распределение. Функция отраженного нормального распределения. Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

В18. Неравенство Маркова. Обобщенное неравенство Чебышева. Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство Маркова .

Оно вытекает из обобщенного неравенства Чебышева: Пусть функция монотонно возрастает и неотрицательна на . Если для случайной величины X существует , то для любого справедливо неравенство .

В19. Закон больших чисел в форме Чебышева. Его смысл. Следствие закона больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли. Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

.

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.

В20. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способ отбора. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов, опирающаяся на теорию вероятностей.

Объектами изучения математической статистики являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайными являются следующие события: выигрыш на один билет денежной лотереи, соответствие контролируемого продукта установленным требованиям, безотказная работа автомобиля в течение первого месяца его эксплуатации, выполнение подрядчиком суточного графика работ.

Выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

В21. Способы отбора.

Способы отбора: 1 Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся а) простой случайный бесповторный отбор и б) простой случайный повторный отбор. 2) Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся а) типический отбор, б) механический отбор и в) серийный отбор.

Простым случайным называют отбор, при котором объекты извлекаются по одному из генеральной совокупности.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части.

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность механически делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы выбирается один объект.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию.

В22. Статистический и вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось раз, - раз и т.д. При этом объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами,а их отношения к объему выборки -относительными частотами. Вариационный рядможно представить таблицей вида:

X			…..
n			….

Статистическим распределением выборкиназывают перечень вариант и соответствующих им относительных частот. Статистическое распределение можно представить как:

X			…..
w			….

где относительные частоты .

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Свойства эмпирической функции распределения: 1) Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1]. 2) – неубывающая функция. 3) Если – наименьшая варианта, то =0 при , если – наибольшая варианта, то =1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

В23,24,25. Числовые характеристики выборки (Выборочные средняя дисперсия, исправленная дисперсия, среднеквадратическое отклонение, моменты). Для охарактеризования рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения вводится выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если все значения признака выборки объема n различны, то:

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

.

Выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой генерального среднего. В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии оказывается не выборочная дисперсия , а так называемая «исправленная» выборочная дисперсия, равная .

В29. Основные понятия статистической проверки гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, критерий проверки, ошибки первого и второго рода. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной)называют выдвинутую гипотезу .

Альтернативной (конкурирующей)называют гипотезу , которая противоречит нулевой. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 5, то альтернативная гипотеза, например, может состоять в предположении, что . Кратко это записывают так: .

Ошибка первого родасостоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: