Сделай Сам Свою Работу на 5

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА





Измерения геометрических размеров стержня являются прямыми измерениями, поэтому погрешности величин а,b и L определяются стандартными методами обработки прямых измерений. Прямыми являются и измерения массы. Однако при этом будем считать, что случайная погрешность определения массы много меньше систематической, так что полная погрешность определения массы равна систематической погрешности, составляющей ±1г.

Стрела прогиба l определяется косвенным образом по формуле l=n0 –n, где n0 и n, прямые измерения, производимые по микрометру с точностью ±0,01мм. Погрешность Dl определяется по формуле . Очевидно, что Dn0=Dn=±0,01мм, так что = 0,014мм. Итак, абсолютная погрешность измерения стрелы прогиба во всех опытах будет одинакова и равна 0,014мм.

Согласно формуле (5) существует линейная связь между стрелой прогиба и массой груза, т.е. l=В×m. Коэффициент В по данным эксперимента можно было бы определить так. Каждый опыт дает определенное значение Bi:

Вi = l i / m i , (7)

где li и mi - значения величин l и m, полученные в i-том опыте. Индекс i у величины B показывает, что это значение соответствует i-тому опыту. Из значений Bi можно образовать среднее



. (8)

Здесь следует отметить, что это простой, но не самый лучший способ определения B. В самом деле, m есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а l есть результат опыта, известный с погрешностью. Погрешность Dl одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине B, равная Dli /mi, тем больше, чем меньше mi. Иначе можно сказать, что значение B, вычисленное по формуле (8), не является наилучшей оценкой истинного B. Это является следствием того, что величины Bi неравноточные.

Строго задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения B по данным эксперимента и известной зависимости типа Y=aX (в данном случае l=B×m) ставится так. Необходимо найти такое значение B, при котором функция l=B×m наилучшим образом соответствует опытным данным (смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для i-го опыта величину (li-Bmi )2. Если бы за меру отклонения была взята просто величина li-Bmi, то сумма отклонений в нескольких опытах могла бы оказаться весьма малой за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но имеющих разные знаки. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что функция l=Bm хороша. Очевидно, что такого взаимного уничтожения не будет, если мера отклонения выбрана в виде (li-Bmi)2.



Итак, в качестве меры общего отклонения S в описании опытных данных функцией l=Bm необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть:

. (9)

Таким образом, наша функция будет наилучшим способом описывать опытные данные, если S, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S, называется методом наименьших квадратов.

Величина S является функцией B, т.е. S=S(B). Чтобы найти такое значение B, которое доставляет минимум функции S (наилучшее значение B), необходимо, как известно, решить уравнение dS/dB=0. Используя (9), получаем:

или ,

что дает . (10)

Итак, подставляя в формулу (10) экспериментальные значения mi и li, рассчитывается значение величина, являющееся наилучшей оценкой истинного B. Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

. (11)

Для расчета доверительного интервала DоB выбирается доверительная вероятность a и определяется коэффициент Стьюдента ta,k-1, т.е. для числа на единицу меньше числа проделанных опытов. Тогда, как обычно, DоB=ta,k-1SB.

Методом наименьших квадратов следует обработать экспериментальные точки, полученные как при нагружении стержня, так и при его разгрузке. Следует также на экспериментальных графиках провести "наилучшие" прямые, используя значение рассчитанные значения В.



После расчета коэффициента пропорциональности В можно рассчитать по формуле (6) значение модуля Юнга. Погрешности, входящих в эту формулу величин, известны. Естественно, что значения этих погрешностей определяют и погрешность определения величины E. Величина E является результатом косвенного измерения. Значение DE определяется по формуле погрешности косвенных измерений. Предполагая при этом, Dg=0, можно записать:

. (12)

Взяв производные и поделив обе части (12) на величину E=gL3/4ab3B, получим выражение, которое удобно использовать для расчета погрешности

. (13)

Подставляя в формулу (6) вначале случайные, а затем систематические погрешности, можно определить соответственно случайную и систематическую (DС Е) погрешности измерения модуля Юнга. Полная погрешность единичного измерения модуля Юнга определяется по формуле .Таким образом, будут получены два значения модуля Юнга (из экспериментов при нагружении и разгрузке стержня). Их надо сравнить друг с другом и с табличными значениями.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое механическое напряжение и относительная деформация? Какова связь между ними (на примере деформации сжатия-растяжения)? Что такое механическое напряжение и относительная деформация с молекулярной точки зрения?

2. В чем состоит закон Гука? Каков физический смысл модуля Юнга, модуля сдвига? Что такое коэффициент Пуассона?

3. Почему модуль Юнга может быть определен из наблюдений деформаций изгиба?

4. Каковы основные этапы вывода формулы (1)? Что такое «момент инерции сечения» I?

5. Определите относительную погрешность величины A, вычисляемой по формуле A=B-C, если B=100, C=99 и относительные погрешности их определения составляют 1%.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.