Сделай Сам Свою Работу на 5

РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ СОСУДА С ЖИДКОСТЬЮ





Возьмем сначала открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость вращения w вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угло­вую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизме­нится: в центральной части уровень жидкости понизится, у сте­нок — повысится и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 19).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отне­сенными к единице массы, соответственно равны g и w2r.

Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличе­нием радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к го­ризонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, в связи с чем наклон этой поверхности с увеличением радиуса возрастает.

Уравнение кривой АОВ:

т. е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости - поверхностью параболоида вращения.

Пользуясь уравнением (3.2), можно определить положение сво­бодной поверхности в сосуде, например максимальную высоту подъема жидкости Н и высоту расположения вершины парабо­лоида h при данной скорости вращения w. Однако для этого нужно использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жид­кости равен ее объему во время вращения.



На практике чаще всего приходится иметь дело с таким случаем вращения сосуда с жидкостью, когда ось вращения расположена горизонтально (или произвольно), а угловая скорость со столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с цен­тробежными силами (рис. 20).

Связь между р и r выражается:

Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут круглые цилиндрические поверхности с общей осью - осью вра­щения жидкости. Если сосуд лишь частично заполнен жидкостью, то ее свободная поверхность, как одна из поверхностей уровня, также будет цилиндрической, причем именно ее радиус удобно обозначить через rо, а давление на ней через ро.

Часто бывает необходимо подсчитать силу давления вращаю­щейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки):



а затем выполним интегрирование в нужных пределах.

Те же формулы для рассмотренных случаев относительного по­коя можно вывести путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ

Используем общее дифференциальное урав­нение равновесия жидкости для анализа относительного по­коя жидкости.

Возьмем указанное уравнение

и рассмотрев его, убедимся, что трехчлен, заключенный в круглые скобки, так же, как и левая часть уравнения, должен быть полным дифференциалом некоторой функции U(x, у, z).

Эта функция должна обладать следующим свойством: частные производные от нее по координатам х, у и z должны соответствен­но равняться X, Y и Z, т. е.

Функция U называется силовой функцией. Как известно из теоре­тической механики, эта функция равна потенциалу сил с обратным знаком.

Таким образом, можно сделать вывод, что равновесие жидко­сти возможно лишь под действием массовых сил, имеющих потен­циал.

Введя функцию U в основное уравнение, будем иметь:

После интегрирования в общем виде получим

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий;

пусть при U=Uo p=po, тогда

Поверхность, удовлетворяющая условию

будет удовлетворять также условию

Следовательно, такая поверхность является поверхностью уров­ня или поверхностью равного потенциала. Это значит, что поверх­ность постоянного давления является в то же время поверхностью постоянного потенциала массовых сил и изменение давления в жид­кости может быть достигнуто только изменением потенциала сил и наоборот.



Кроме того, из предыдущего можно заключить, что для неод­нородной капельной жидкости ее плотность должна быть функцией от U:

Для этого случая формула (3.4) запишется так

или после интегрирования

Следовательно, для неоднородной капельной жидкости поверх­ности уровня будут также поверхностями равной плотности. Это значит, что неоднородная капельная жидкость, находящаяся в рав­новесии, располагается слоями равной плотности, соответствующи­ми поверхностям уровня, причем большим значениям плотности соответствуют большие давления и наоборот. Этим свойством поль­зуются для разделения неоднородных жидких смесей, которое про­изводится в устройствах, называемых центрифугами.

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.