ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ

ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

СВОЙСТВА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

В покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений - напряжение сжатия, т. е. гидроста­тическое давление.

Необходимо иметь в виду следующие два свойства гидростатического давления в жидкости:

1. На внешней поверхности жидкости гидростатическое давле­ние всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жид­кости.

Это свойство непосредственно вытекает из определения давления, как на­пряжения нормальной сжимающей силы.

Под внешней поверхностью жидкости следует понимать не только по­верхности раздела ее с внешней сре­дой, но и поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых нами из общего объема жидкости.

2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем на­правлениям одинаково, т. е. давление не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке.

Выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме прямоугольного тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz (рис. 5).

Пусть вблизи выделенного объема на жидкость действует еди­ничная массовая сила, составляющие которой равны X, Y и Z.

Обозначим через р_х гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси ох, через р_у—давление на грань, нормальную к оси оу, и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через р_n,а площадь этой грани - через dS. Все эти давления направлены по нормалям к соответст­вующим площадкам.

Имеем

Свойство гидростатического давления в неподвиж­ной жидкости имеет место также при движении невязкой жидко­сти. При движении же вязкой жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего гидромеханическое давление в вязкой жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ

Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда из числа массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести, и получим для этого случая уравнение, позволяющее находить величину гидростатического давления в любой точке рассматривае­мого объема жидкости. Свободная поверхность жидкости в этом случае, как известно, является горизонтальной плоскостью.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 6) и на ее свобод­ную поверхность действует давление р_о. Найдем величину гидро­статического давления р в произвольно взятой точке М, располо­женной на глубине h.

У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объ­ем высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жид­кости на нижнее основание цилиндра теперь будет являться внеш­ним давлением и будет направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.

Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении. Будем иметь

где последний член представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления на боковой поверхности цилиндра в урав­нение не войдут, так как они нормальны к этой поверхности. Сократив на dS и перегруппировав члевы, получим

p=p_o+hy. (2.2)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидро­статики; оно позволяет подсчитать давление в любой точке покоя­щейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, склады­вается из двух величин: давления на внешней поверхности жидко­ сти р_о и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Величина р_о является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатиче­ского давления, можно сказать, что дав­ление, приложенное к внешней поверхно­сти жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).

Давление жидкости, как видно из формулы (2.2), растет с увеличением глубины по закону прямой, и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверх­ностью уровня. В данном случае поверх­ностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать коор­динаты z. Обозначив через z координату точки М, через z₀—ко­ординату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (2.2) h на z₀—z, получим

Но так как точка М нами взята произвольно, то, можно утвер­ждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Координата z называется нивелирной высотой. Величина p/g имеет также линейную размерность и называется пьезометриче­ской высотой. Сумма z+p/g называется гидростатическим на­пором.

Таким образом, гидростатический напор есть величина посто­янная для всего объема неподвижной жидкости.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на жидкость действует не только сила тя­жести, но и другие массовые силы, например, силы инерции пере­носного движения при так называемом относительном покое.

В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с ко­ординатами х, у и z и давлением р. Выделим в жидкости элемен­тарный объем в форме прямо­угольного параллелепипеда с ребрами, параллельными коор­динатным осям и соответствен­но равными dx, dy и dz. Точ­ка М пусть будет одной из вер­шин выделенного параллелепи­педа (рис. 7). Рассмотрим ус­ловия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть в вы­деленном объеме на жидкость действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, дейст вующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделен­ного объема.

На выделенный параллелепипед будут действовать лишь ука­занные массовые силы и разности сил давления. Поэтому уравне­ния равновесия параллелепипеда в направлениях трех координат­ных осей запишутся в следующем виде:

В пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М

Система дифференциальных уравнений гидростатики (2.5) назы­вается уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы урав­нений (2.5) получить одно эквивалентное им уравнение, не содер­жащее частных производных.

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции р(х, у, z). Поэтому уравне­ние (2.6') можно переписать в следующем виде;

Полученное уравнение выражает приращение давления dp, обусловленное изменением координат на величины dx, dy и dz, в самом общем случае равновесия жидкости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: