Перечень лабораторных работ

Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом

8. Задания для самостоятельной работы студентов

№ темы	Всего часов	Вопросы для самостоятельного изучения (задания)	Литература
		Комплексная переменная. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Определение области. Односвязные и многосвязные области. Окрестность точки. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Понятие элементарной функции. Степенная функция , где - натуральное. Целая рациональная функция. Дробная рациональная функция. Показательная функция . Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Примеры.	1,3,4,5
		Функция . Функция . Логарифмическая функция. Общая степенная функция , где s-комплексное число. Обратные тригонометрические функции. Обратные гиперболические функции. Примеры. Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Основные правила дифференцирования. Условия Коши-Римана. Нахождение регулярной функции по её вещественной (или мнимой) части. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.	1,3,4,5,8
		Определение интеграла от функции комплексной переменной. Основные свойства и вычисление интеграла. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Независимость контурного интеграла регулярной функции от пути. Первообразная и неопределённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера. Формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема о среднем для регулярной функции. Принцип максимума модуля. Теорема Лиувилля.	1,3,4,5
		Общие свойства рядов с комплексными членами. Функциональные ряды. Ряд Тейлора. Примеры. Ряд Лорана. Нули и особые точки. Примеры разложений функций в ряд Лорана. Понятие аналитического продолжения.	1,3,4,5,7
		Определение и формулы вычисления вычетов. Основная теорема теории вычетов. Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана и её применение к вычислению определённых интегралов. Логарифмическая производная и логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.	1,3,4,5
		Конформное отображение. Примеры конформных отображений. Основная задача конформного отображения. Теорема Римана. Теорема и принцип соответствия границ. Интеграл Кристоффеля-Шварца. Принцип симметрии.	1,3,4,5,6,8
		Изображение и оригинал. Преобразование Лапласа. Условия, налагаемые на оригинал. Теорема о существовании изображения. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.	2,5
		Основные теоремы операционного исчисления. Нахождение оригинала по его изображению. Формула обращения Римана–Мeллина. Применение теоремы о вычетах при использовании формулы обращения.	2,3,5

Расчётно–графическая работа

Расчётно-графическая работа не предусмотрена учебным планом.

Курсовая работа

Курсовая работа не предусмотрена учебным планом.

Курсовой проект

Курсовой проект не предусмотрен учебным планом.

Вопросы для зачета

1. Комплексные числа. Алгебраические действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы представления комплексного числа. Стереогафическая проекция.
2. Комплексная переменная. Предел последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Ограниченная последовательность.
3. Определение области. Односвязные и многосвязные области. Окрестность точки. Гладкая и кусочно-гладкая линии. Направление обхода границы области.
4. Понятие функции комплексной переменной. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Непрерывность функции.
5. Элементарные функции комплексной переменной.
6. Производная и дифференциал. Основные правила дифференцирования.
7. Условия Коши-Римана. Нахождение регулярной функции по её вещественной (или мнимой) части.
8. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение.
9. Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства и вычисление.
10. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.
11. Первообразная и неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов.
12. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема Морера.
13. Формула Коши и её следствия. Интеграл типа Коши.
14. Принцип максимума модуля. Теорема Лиувилля.
15. Ряды с комплексными членами. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды.
16. Функциональные ряды.
17. Степенные ряды.
18. Ряд Тейлора.
19. Ряд Лорана.
20. Нули и особые точки.
21. Поведение функции в бесконечно удалённой точке.
22. Вычеты. Основные теоремы о вычетах.
23. Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов.
24. Принцип аргумента. Теорема Руше.
25. Примеры конформных отображений.
26. Аналитическое продолжение.
27. Преобразование Лапласа. Условия, налагаемые на оригинал. Теорема существования изображения.
28. Простейшие правила и формулы операционного исчисления. Свойство линейности. Дифференцирование оригинала. Интегрирование оригинала. Дифференцирование изображения. Интегрирование изображения. Предельные соотношения.
29. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.
30. Основные теоремы операционного исчисления. Теорема подобия. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Изображение периодического оригинала. Теорема умножения. Интеграл Дюамеля. Первая теорема разложения. Вторая теорема разложения.

Вопросы для экзамена

Экзамен не предусмотрен учебным планом

14. Тестовые задания по дисциплине

Задание №1.

Возведите в степень комплексное число

1) , 2)4, 3)-4i, 4)-2i, 5) .

Задание №2.

Найти , если .

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №3.

Записать комплексное число в тригонометрической форме

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) .

Задание №4.

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0)=0, (0)=1.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №5.

Дано уравнение кривой . Определить вид этой кривой.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №6.

Вычислить cosi.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №7.

На какую область в плоскости w отображает функция данную область D – бесконечный сектор

.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №8.

Вычислить , где – верхняя часть полуокружности с центром в начале координат и радиусом r, а направление обхода контура – против часовой стрелки.

1)0, 2) , 3) , 4) , 5) .

Задание №9.

При каких значениях z сходится ряд ?

1) , 2) , 3)0, 4) , 5) .

Задание №10.

Разложить в ряд Лорана в кольце .

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) .

Задание №11.

Число z=0 является нулём для функции 1-cosz порядка.

1)1, 2)2, 3)3, 4)4, 5)5.

Задание №12.

Точка z=0 является полюсом функции порядка…

1)1, 2)2, 3)3, 4)4, 5)5.

Задание № 13.

Вычеты функции во всех изолированных особых точках, а также в точке равны

Задание № 14.

Операционным методом решить задачу Коши

Задание №15.

Найти регулярную на всей плоскости z функцию , для которой и .

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Ключи ответов

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: