|
|
КПД двигателя внутреннего сгорания
Рис. 10. Неравновесный переход системы изображен условно, так как такие переходы нельзя изображать на какой либо диаграмме.
1.26.Показать, что дифференциальное выражение для элементарной работы δW = SiAidai не является полным дифференциалом какой-либо функции параметров состояния системы. 1.26. Состояние системы определяется температурой T и внешними параметрами a1, a2, …, an. Выражение элементарной работы δW = SiAidai (1) дифференциал температуры не входит (т.е. коэффициент при dT в формуле 1 равен нулю). Если бы выражение 1 было полным дифференциалом какой-либо функции состояния, то (¶Ai/¶T) - (¶0/¶ai) = 0, что означало бы независимость обобщенных сил (например, давления) от температуры, а это противоречит исходному положении термодинамики о существовании уравнения состояния A = A(a1, a2, … an, T).
1.27. Установить, что для любой простой системы, подверженной действию обобщенной силы А (сопряженной внешнему параметру а), справедливо тождество: (¶T/¶A)a(A/¶a)T(¶a/¶T)A = -1. 1.27. Второе исходное положение термодинамики приводит к существованию термического уравнения состояния A = A(T, a), откуда dA = (¶A/¶a)T + (¶A/¶T)a При dA = 0 получаем (¶A/¶a)T(¶a/¶T)A + (¶A/¶T)a = 0. (¶T/¶A)a(¶A/¶a)T(¶a/¶T)A = -1. В случае A = p, a = V имеем: (¶T/¶p)V(¶p/¶V)T(¶V/¶T)p = -1.
1.28. Установить связь между термическими коэффициентами a, b и g. 1.28. Термические коэффициенты, по определению, равны a = (1/Vo)(¶V/¶T)p, b = (1/Vo)(¶V/¶p)T, g = (1/po)(¶p/¶T)V. Откуда a/bg = -po(¶V/¶T)p(¶p/¶V)T(¶T/¶p)V.
1.29. Объяснить причину понижения температуру тропосферы с высотой и, считая воздух идеальным газом, вычислить высотный градиент температуры в атмосфере. 1.29. Когда воздух поднимается вверх (опускающимися холодными массами или при ветре на горных массивах), он попадая в область меньших давлений, расширяется. Это расширение можно считать адиабатическим, поскольку воздух плохой проводник теплоты. При адиабатическом процессе Tp(1-g)g = const, откуда после логарфмирования и дифференцирования находим: dT/T + (1-g)/g = dp/p = 0. С другой стороны, изменение давления с высотой равно dp = -rgdh, где r – плотность воздуха. Из уравнения состояния идеального газа r = m/V = Mp/(RT), поэтому dp/p = -Mgdh/RT, dT/dh = -(g-1)Mg/gR. Для воздуха g = 1,4 , M = 0,029 кг/моль и высотный градиент температуры в атмосфере dT/dh = -9,8 10-5 K/см » -0,01 К/м (1). Полученное значение больше наблюдаемого среднего изменения температуры воздуха с высотой ( 1 К на каждые 200 м). Различие определятся главным образом не учетом влажности воздуха (мы считаем его совершенно сухим). Когда при некоторой температуре воздух окажется насыщенным влагой, с дальнейшим понижением температуры начнется конденсация водных паров и выделение теплоты конденсации. По этой причине понижение температуры будет происходить медленнее, чем следует из формулы (1).
1.30. Показать, что разность температур между 10-3 и 10-5 К эквивалентна разности температур между 3 и 300 К, т.е. равные температурные интервалы DT по шкале Кельвина не эквивалентны. 1.30. Температура T по шкале Кельвина является «абсолютной» в смысле независимости от свойства любого термометрического вещества. Таковым является и отношение T(t2)/T(t1) (см. 3.20), но не разность T(t2) – T(t1). Отсюда следует, что равные интервалы DT не являются эквивалентными, разность температур, например, между 10-3 и 10-5 К эквивалентна разности температур между 3 и 300 К. КПД циклов Карно между этими разностями температур будут одинаковыми.
1.31. Показать, что внутренняя энергия вещества с уравнением состояния в форме p = Tf(V) не зависит от объема. 1.31. Из дифференциального соотношения между термическим и калорическим уравнениями состояния T(¶p/¶T)V = (¶U/¶V)T + p в случае p = Tf(V) находим: (¶U/¶V)T = 0.
1.32. Показать, что цикл Карно обладает наибольшим КПД по сравнению со всеми другими циклами в тех же температурных пределах. 1.32. Пусть на энтропийной диаграмме S, T исходный цикл absd ограничен предельными изотермами T1 и T2 (рис. 55). Его КПД
h = W/Q1 = ∫oTdS/∫áabcñTdS = Пл. abc da/Пл.A abc BA = (Пл. 12341 – s1 – s2 – s3 – s4)/(Пл. A12BA – s1 – s2) . Учитывая, что при прибавлении к числителю и знаменателю правильной дроби положительного числа дробь увеличивается, получаем: h = [(T2-T1)(S2-S1) –s1-s2-s3-s4]/[T1(S2-S1) –s1-s2] < [(T1-T2)(S2-S1) –s1-s4]/[T1(S2-S1)] < [(T1-T2)(S2-S1)]/T1(S2-S1) = (T1-T2)/T1 = hKarno. Таким образом, цикл Карно обладает наибольшим КПД по сравнению со всеми другими циклами в тех же температурных пределах. 1.33. Вычислить КПД воздушной машины, работающей по циклу Стирлинга, состоящему из двух изотерм Т = Т1 и Т = Т2, двух изохор V = V1 и V = V2 и сравнить его с КПД машины, работающей по циклу Карно с теми же температурами Т1 и Т2. 1.33. На энтропийной диаграмме цикл Стирлинга изображен на рис. 56. По определению h = W/Q1, W = ∫oTdS = ∫12TdS + ∫23TdS + ∫34TdS + ∫41TdS, Q1 = ∫412TdS = ∫41TdS + ∫12TdS.
Для идеального газа dS = CVdT/T + RdV/V, W = T1Rln(V2/V1) + CV(T2-T1) + T2Rln(V1/V2) + CV(T1-T2) = R(T1-T2)ln(V2/V1), Q1 = CV(T1-T2) + RT1ln(V2/V1), h = R(T1-T2)ln(V2/V1)/[RT1ln(V2/V1) +CV(T1-T2)] = (T1-T2)/[T1 + CV(T1-T2)/Rln(V2/V1) . h < (T1-T2)/T1 < hKarno, т.е. КПД цикла Стирлинга меньше КПД цикла Карно в тех же температурных пределах. Кроме того, в отличие от цикла Карно КПД цикла Стирлинга зависит от природы рабочего вещества.
1.34. Найти КПД двигателя внутреннего сгорания работающего по циклу Отто, в котором сжатие и расширение горючей смеси проводится адиабатно, а ее горение происходит при постоянном объеме (рис. 16). Параметром цикла является степень сжатия c = V1/V2. 1.34. Работа в двигателях внутреннего сгорания производится не за счет теплоты извне, а за счет внутренней энергии рабочего вещества (горючей смеси). В цикле Отто горючая смесь, вошедшая в цилиндр, адиабатно сжимается (1 – 2), воспламененная искрой, изохорно сгорает (2 - 3), адиабатно расширяется (3 - 4) и выбрасывается в атмосферу (4 - 1). КПД цикла: h = W/Q1, W=∫oTdS -∫23TdS + ∫41TdS, Q1 = ∫A23BTdS = ∫21TdS. h = 1 - ∫14TdS /∫23TdS. Считая смесь идеальным газом, находим: dS = cVdT/T + RdV/V, ∫14RdS = CV(T4-T1), ∫23TdS = CV(T3-T2), h = 1-(T4-T1)/(T3-T2). Выразим h через e. Из уравнения адиабаты TVg-1 = const, находим T3 = T4(V4/V3)g-1 = T4eg-1, T2 = T1(V1/V2)g-1 = T1eg-1. Таким образом, h = 1 – 2/eg-1. Практически находится в интервале от 3,5 до 7 и h = 25%. 1.35. Найти КПД двигателя внутреннего сгорания, работающего по циклу Дизеля, диаграмма которого изображена на рис. 17: 1 - 2 – адиабатическое сжатие атмосферного воздуха, 2 - 3 изобарное расширение (впрыскивание горючей смеси и ее сгорание), 3 - 4 – адиабатное расширение, 4 - 1 изохорное охлаждение. Параметрами цикла являются степень сжатия e = V1/V2 и степень предварительного расширения r = V 1.35. По определению h = W/Q1. В цикле Дизеля W = ∫oTdS = ∫23TdS + ∫41TdS , Q1 = ∫23TdS, h = 1 - ∫14TdS/∫23TdS. Считая рабочее тело идеальным газом, находим dS = CVdT/T + RdV/V = CpdT/T – Rdp/p. ∫14TdS = Cp(T4 - T1), ∫23TdS = Cp(T3 - T2), h = 1 – (1/g)(T4 - T1)/(T3 - T2). T2V2g-1 = T1V1g-1, T1/T2 = (V2/V1)g-1 – (1/e)g-1, T2/V2 = T4/V4 , T4/T2 = V3/V2 = r. T3V3g-1=V4V1g-1, T2V2g-1=T1V1g-1, T4/T1 = (T3/T2)(V3/V2)g-1 = rrg-1 = rg, h = 1 – (1/geg-1)(rg-1)/(r-1).
1.36. Предполагая, что между энтропией S и вероятностью W состояния системы существует некоторая функциональная зависимость (принцип Больцмана), и используя общие свойства энтропии и вероятности, установить соотношение Больцмана S = kBlnW. 1.36. По принципу Больцмана S=f(W). Если система состоит из двух частей, то S1 = f(W1), S2 = f(W2) и на основании аддитивности энтропии S = S1 + S2 = f(W1) + f(W2) = f(W). Для независимых систем W = W1 + W2, поэтому для определения f(W) получаем функциональное уравнение: f(W1) + f(W2) = f(W1W2), дифференцируя которое по W1 и W2 находим: f′(W1) = f′(W1W2)W2 , f′(W2) = f′(W1W2)W2, f′(W1)/f′(W2) W2/W1, W1 f′(W1) = W2 f′(W2) = k, где k постоянная величина. После интегрирования этого уравнения получаем соотношение S = klnW, которое частот называют принципом Больцмана. 1.37. Два тела с температурами 27 и 28оС приведены в соприкосновение. За некоторое время от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой перешло количество теплоты, равное 10-7 Дж. Определить, на сколько раз вследствие этого перехода изменится вероятность состояния данных тел. Чему равна вероятность обратного перехода. Как изменится результат для перехода количества, равного 1,2·10-16 Дж. 1.37. Общая энтропия обоих тел изменится на DS = 1/300 – 1/301 = (1/9)·10-21 Дж/К. Согласно принципа Больцмана DS = kln(W2W1), W1 – вероятность начального состояния обоих тел, W2 – вероятность их конечного состояния в рассматриваемом процессе, поэтому W2 = W1eDS/k = W1e10 12 12, Т.е. вероятность второго состояния в невообразимо большое число раз превышает вероятность первого состояния и при соприкосновении теплота переходит от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой практически во всех случаях. Из W1/W1 » 1000 10 10 случаев в среднем один раз теплота переходит от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой. Мы видим, что практически вероятность перехода теплоты, требуемая термодинамикой, не отличается от достоверности. Однако результат будет иной при переходе значительно меньшего количества теплоты, чем 10-7 Дж. В случае DQ = 10-16 Дж получаем W2/W1 = e = 2,7, т.е. переход такого количества теплоты от холодного тела к горячему хотя и будет осуществляться редко, чем обратный переход, однако частоты этих переходов одного порядка.
1.38. Доказать эквивалентность следующих формулировок третьего начала: а) при Т → 0 K энтропия S любой системы перестает зависеть от термодинамических параметров, принимая одно и то же для всех систем постоянное значение; б) 0 К недостижим. 1.38. Докажем эквивалентность приведенных формулировок третьего начала термодинамики, показав, что если первая формулировка неверна, то неверна и вторая, и наоборот. Предположим, что первое утверждение неверно, т.е. при Т → 0 К энтропия зависит от параметра V (рис. 51) . Тогда можно достичь температуры 0 К, совершая обратимой адиабатическое расширение из состояния 1 в 2. При этом температура Т1 начального состояния должна быть такой, чтобы выполнялось соотношение S(V1,T1) = S(V2,0). Предположим теперь, что температуры 0 К можно достичь. Покажем, что разность значений энтропии для различных значений параметров будет при этом отлична от нуля. Это видно из рис. 62. Действительно, если процесс 1-2 возможен, то при 0 К энтропия системы, имеющей объем V1, должна отличаться от ее значения для системы с объемом V2, поскольку энтропия является монотонно возрастающей функцией от температуры при постоянном объеме [¶S/¶T)V = CV > 0].
1.39.При низкой температуре энтропия электронного газа в металлах пропорциональна термодинамической температуре. Найти температурную зависимость Cp - CV электронных теплоемкостей при этой темп ературе. 1.39. По условию S = aT (1). Для определения Cp - CV = T(¶p/¶T)V(¶V/¶T)p из выражений dF = -SdT - pdV и dG = -SdT + Vdp находим (¶p/¶T)V = (¶S/¶V)T, (¶V/¶T)p = -(¶S/¶p)T. Поэтому CV - Cp = -T(¶S/¶V)T(¶S/¶p)T. Из формулы (1) следует, что (¶S/¶V)T ~ T, (¶S/¶p)T ~ T и, следовательно, Cp - CV ~ T3. 1.39. При низкой температуре по закону Дебая теплоемкость CV кристаллов пропорциональна кубу термодинамической температуры: CV = aT3. Показать, что разность теплоемкостей Cp - CV у кристаллов при Т → 0 К пропорциональна седьмой степени температуры. 1.39. Cp - CV = T(¶p/¶T)V(¶V/¶T)p. Из выражений dF =-SdT-pdV, dG = -SdT + Vdp находим : (¶p/¶T)V = (¶S/¶V)T, (¶V/¶T)p =-(¶S/¶p)T, поэтому Cp - CV = T(¶S/¶V)p(¶S/¶p)T. Так как CV = T(¶S/¶T)V = aT3, то зависимость энтропии от температуры определяется формулой S = ∫oTaT2dT = 3aT3. Поэтому (¶S/¶V)T ~ T3, (¶S/¶p) ~ T3 и, следовательно, Cp - CV ~ T7. И вообще, если при Т → 0 К энтропия изменяется по закону S ~ aTn, то разность Cp - CV ~ T2n+1.
Задачи ххххххх Хх. Определить зависимость концентрации примеси в твердой фазе от относительной доли затвердевшей части образца в процессе направленной кристаллизации (метод Чохральского, Бриджмена и т.п.). Хх. При кристаллизации массы dq концентрация уменьшится на dc, баланс массы примеси: (c-dc)(q-dq) + cтвq = cq → dq/q = dc/(cтв-с) → ln(q/qo) = [1/(k-1)]ln(c/co), c =cтв/k, qo = 1, cтв = kcтв(1 - qтв)k-1.
Хх. Определить зависимость концентрации примеси в твердой фазе от относительной доли затвердевшей части образца в процессе зонной плавки. l – длина расплавленной зоны, S – площадь сечения слитка. Хх. Если перенести расплавленную зону на расстояние dx , то в нее поступит масса примеси micoSdx , а покинет зону масса примеси m2=cтвSdx=kcSdx. При этом изменение концентрации примеси в зоне dc = (coSdx-kcSdx)/lS = (co - ck)dx/l, dx/l = dc/(co - kc) x/l = (1/k)ln[(co - kc)/co(1 - k)] = (1/k)ln[co(1 - k)/(co cтв=co[1-(1-k)exp(-kx/l)].
хх. Рассчитать загрузку GaAs, легированного 10-3 ат.% Cr, k=0,6. Хх. Для GaAs надо cGaMGa:cAsMAs = 50·70:50·75 = 3500:3750 = 0,483:0,517 99,9983GaAs : (0,001/0,6)Cr = 99,9973GaAs·MGaAs( = 145) : 0,0017Cr·MCr( = 51) = 14499,75 : 0,0867 = 99,99938 : 0,00062.
хх. В простой реакции второго порядка А + В = D начальные концентрации раны сoA = 2,0 моль/л, coB = 3,0 моль/л. Скорость реакции при текущей концентрации cA = 1,5 моль/л равна 1,2·10-3 моль/(л с). Определить константу скорости и скорость реакции при текущей концентрации cB·= 1,5 моль/л. Хх. К моменту времени, когда cA = 1,5 моль/л, прореагировало 2,0 - 1,5 = 0,5 моль/л реагента А. Согласно уравнению реакции столько же прореагировало и реагента В. Согласно УДМ v = kcAcB, k = v/cAcB = 1,2·10-3/1,5·2,5 = 3,2·10-4 л/(моль с). К моменту времени, когда cB = 1,5 моль/л, прореагировало 1,5 моль/л реагентов А и В. Поэтому cA = 2,0 - 1,5 = 0,5 моль/л. v = kcAcB = 3,2·10-4·1,5·0,5 = 2,4·10-4 моль/(л с).
хх. Реакция второго порядка с одним регентом завершилась на 75% за t1= 92 мин при начальной концентрации со = 0,24 моль/л. За какое время t2 при тех же условиях концентрация достигнет 0,16 моль/л. Хх. kt1=1/(co-x1) + 1/co, kt2 =1/(co-x2) + 1/co. x1=0,75co=0,18 моль/л, x2=0,24 -0,16=0,08 моль/л. t2=t1[1/(co-x2) + 1/co]/[1/(co-x1) + 1/co] = 15,3 мин.
27. Рассчитать среднее число столкновений молекул А с В в секунду в смеси газов молекул А и В, массы которых mA, mB, а диаметры – DA, DB соответственно, MA, MB – молярные массы (кг/моль). Хх. Пусть средняя относительная скорость молекулы А равна v= (8kBT/pm)1/2, m=mAmB/(mA+mB), а молекулы В - неподвижны. Соударение произойдет в том случае, если центр молекулы В расположен на расстоянии, не превышающем RAB=(DA+DB)/2 от линии движения молекулы А. Общее число столкновений в секунду А с В равно произведению объема, описываемого за секунду сферой радиуса DAB, на число молекул A и В - nA и nB в единице объема: z = pRAB2v nB = RAB2(8kBTp/m)1/2 nB nA = RAB2[8RTp(1/MA + 1/MB)]1/2 nB nA При 700 К и р=1,01 Па z~1028.
28. Определить константу диссоциации уксусной кислоты CH3COOH, угольной кислоты H2CO3 через степень диссоциации и общую концентрацию электролита. Хх. CH3COOH ↔ CH3COO- + H+. kD = CCH3COO-CH+/CCH3COOH = acac/(c-ac) H2CO3 ↔ 2H+ + CO32-, kD=(2a)2ac/c-ac=4a2c2/(1-a)
29. Вывод уравнения Томсона – давление пара над искривленной поверхностью жидкости. M – молярная масса, r – плотность жидкости, VM –молярный объем жидкости Хх. dm (r=∞, ps) →(r=R, p) dA=Qисп+A(ps→p)+Qкр=(dm/dM)RTln(ps/p)=-sds, m=(4/3)pr3r, s=4pr2, M/r=VM. r=2sVM/RTln(ps/p).
30. Вывод уравнения Лапласа – избыток давления со стороны выпуклой поверхности при соприкосновении двух фаз. Хх. В равновесии: δA=-dF=-(-p′dV′+p″dV″+sdS)=0, s=(p′-p″)dV/dS=DpR/2. p′, p″ - давление в двух граничных фазах.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
