О ПРОПОРЦИОНАЛИЗАЦИИ ШКАЛ СОЦИОЛОГИЧЕСКИХ ПРИЗНАКОВ

За последние десятилетия в прикладной и теоретической математике появилось много работ, посвященных вычислению и оценке коэффициентов связи признаков с различными шкалами. Особенно много внимания сейчас уделяется шкалам неметрическим – номинальным или порядковым (ранговым). При этом наблюдается очень простая и интересная, на наш взгляд, закономерность. Почти все методы, созданные для оценки и вычисления тех или иных коэффициентов связи различных шкал (коэффициенты простой и ранговой корреляции, конкордации и т.п.), можно применять для решения в некотором смысле "обратных'' задач, а именно задач измерения и шкалирования, т.е. построения таких шкал, которые обладали бы нужным нам свойством: метрикой, порядком, линейностью и т.п.

Предыдущая статья автора в данном сборнике была посвящена методу построения ранговых шкал (их взаимному ориентированию) путем постановки задачи, обратной проверке связи направлений двух шкал. Данная статья продолжает эту традицию, и здесь мы обсудим проблему взаимной пропорционализации ранговых шкал. Как и в первой статье, мы сделаем это путём постановки задачи, обратной оценке пропорциональности двух шкал. В этом смысле данная статья является фактическим продолжением предыдущей и, как и та, является развитием идей, изложенных автором в докладе на Всесоюзном совещании по применению количественных методов в социологии, состоявшемся в апреле 1967 г. в г.Сухуми.

Итак, возьмем две ранговые шкалы S- того и q-того признаков длины n и n соответственно. Будем считать, что взаимное ориентирование шкал уже проведено. Шкалы S и q будем считать пропорциональными, если перемещению на некоторое число делений i по одной шкале соответствует перемещение на пропорциональное число делений j = i по другой. Как и ранее, условимся считать n ³ n .

Как и в случае проверки связи направлений шкал S- того и q-того признаков, будем перебирать все пары значений признаков в нашей выборке N и накапливать характеристическое число , изменяя его каждый раз на коэффициент , характеризующий информацию о пропорциональности шкал S и q, вносимую k-той парой выборки N : (i , j ), где i -значение шкалы q-того признака в этой паре. Процесс описывается формулой

= + (I)

Задача, следовательно, сводится к построению шкалы .

Рассмотрим построение шкалы приращений на примере для случая n = 7 и n = 5.

1

2

3

4

5

6

7

1 1 1

При пропорциональных шкалах на деление I шкалы q приходится целиком деление I и 2/5 деления 2 шкалы S; на деление 3 шкалы q - 3/5 деления 2 и 4/5 деления 3 шкалы S; на деление 3 шкалы q - 1/5 деления 3, целиком деление 4 и 1/5 деления 5 шкалы S и т.д. (см. рис.I). В соответствии с этим при появлении в выборке пары (I, I) присваиваем = 5, при появлении пары (2, 1) - =2, при появлении пар (3, 1), (4, 1), ..., (7, 1) - = -5. Аналогично при появлении пары (1, 2) присваиваем = - 5, при появлении пары (2, 2) - = - 3, при появлении пары (3, 2) - = 4, при появлении пар (4, 2), ..., (7, 2) - = -5 и т.д. Все высказанное можно записать следующими формулами.

Обозначим x = , (2)

- целая часть X.

Как и ранее, i принимает значения от I до n , j – от I до n . Возможны два варианта: x = и x ¹ .

I. x - целое (x = ).

=

В самом деле, легко видеть, что при целом x для пропорциональных шкал j –тому делению шкалы q соответствует x делений шкалы S, а именно деления jx, jx - I, ... Поэтому при появлении в выборке этих пар мы и присваиваем значение + I. Появление других пар свидетельствует о непропорциональности, а потому оценивается - I.

2. x - не целое ( x = ).

Пусть - элемент шкалы , соответствующий i-тому значению шкалы S и j-тому значению шкалы q. Доопределим = 0 (" ).Теперь для получим набор формул:

а) при i £ или i ³ n + 1 - , = -n ;(4)

б) при i = + 1 = i ,

= (5)

в) при прочих значениях, обозначив

= n (x + + 2 - i),

получим

= (6)

Таблица I

	i
I
j	I			-5	-5	-5	-5	-5
	-5			-5	-5	-5	-5
	-5	-5	I		I	-5	-5
	-5	-5	-5	-5			-5
	-5	-5	-5	-5	-5

Удостоверимся в этом. Здесь x = 7/5, не целое:

I) i = 1, j = 1; = 0; i = i (случай б);

= = 0 ¹ n . Следовательно,

= = 5 - 0 = 5;

2) i = 2, j = 1; (случай в); = 5( - 0 + 2 - 2) = 7;

= = 5; ; - = 7 - 5 = 2 < n ;

= = 2;

3) i = I, j = 2; = 1 = i (случай а);

= = -5;

4) i = 2, j = 2; (случай б). = = 2 ¹ n ;

= = 5 - 2 = 3 и т.д.

Из рассмотренных примеров ясно, как строится шкала и как работают формулы (3) – (6). Построение шкалы следует вести по строкам или столбцам, начиная с i = I, j = I. Приведем еще два примера таблиц для (табл. 2, 3):

I. n = 6, n = 3.

Таблица 2

	i
I
j	I	I	I	-I	-I	-I	-I
	-I	-I	I	I	-I	-I
	-I	-I	-I	-I	I	I

2. n = 7, n = 4.

Таблица 3

	i
I
j	I			-4	-4	-4	-4	-4
	-4	I			-4	-4	-4
	-4	-4	-4			I	-4
	-4	-4	-4	-4	-4

Теперь, как и в случае с ориентированием, перебираем выборку N, находим и нормируем его, определяя коэффициент пропорциональности шкал

a = = . (7)

Этот метод, как уже было сказано выше, можно использовать не только для проверки пропорциональности, но и для пропорционализации шкал. Процесс пропорционализации состоит в том, чтобы, дробя отдельные элементы одной из шкал на несколько значений ( и тем увеличивая её длину) или соединяя несколько элементов шкалы в один ( и тем уменьшая её длину), добиться наибольшего значения . При этом надо следить за социологическим смыслом вновь получаемых шкал, чтобы остановить процесс на некотором оптимуме величины коэффициента связи.

Основная трудность состоит, вероятно, в формализации этого процесса и построении решающего алгоритма. Однако проблема эта еще автором до конца не решена, поскольку до сих пор не ясны критерии оптимизации процесса, учитывающие содержательную сторону пропорционализации.

Вопрос, затронутый в данной статье, важен еще и тем, что ориентировка и пропорционализация шкал позволяет решать задачи введения функциональных зависимостей на шкалах различных социологических признаков. Более того, поскольку для пропорциональных шкал такая зависимость будет линейного вида ax + b, можно будет задавать на множестве шкал те или иные алгебраические операции, моделирующие взаимовлияния рассматриваемых признаков.

РАЗДЕЛ II. ТИПОЛОГИЯ

В.Л. Устюжанинов

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: