Равносильные формулы алгебры логики
Определение.Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.
Равносильность формул будем обозначать знаком ≡, а запись А ≡ В означает, что формулы А и В равносильны.
Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в неё переменных.
Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в неё переменных.
Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А↔В – тавтология, и обратно, если формула А↔В – тавтология, то формулы А и В равносильны.
Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.
- Основные равносильности:
- х&х х – закон идемпотентности;
- х х х – закон идемпотентности.
- х&1 х
- х 1 1
- х&0 0
- х 0 х
- х& 0– закон противоречия.
- х 1 закон исключённого третьего.
- х – закон снятия двойного отрицания.
10. Х&(у х) х – закон поглощения;
11. х (у&х) х – закон поглощения.
12. Х (Х&Y) (X& )- первая формула расщепления.
13. Х (Х Y) & (X )- вторая формула расщепления.
Докажем один из законов поглощения. Рассмотрим формулу
А х&(у х). Если в этой формуле х = 1 то, очевидно, у х = 1 и тогда х&(у х) = 1 как конъюнкция двух истинных высказываний. Пусть теперь в формуле А х = 0. Но тогда по определению операции конъюнкции будет ложной и конъюнкция х&(у х). Итак, во всех случаях значения формулы А совпадают со значениями х, а поэтому А х.
2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:
1. х у (х у)&(у х)
2. х у у
3.
4. &
5. х&у
6.х у &
Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4 соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем две из них: первую и третью.
Так как при одинаковых логических значениях х и у истинными являются формулы х↔у, х→у, у х, то истинной будет и конъюнкция (х→у)&(у х). Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.
Пусть теперь х и у имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность х↔у и одна из двух импликаций х→у или у х. Но при этом будет ложной и конъюнкция (х→у)&(у х). Таким образом, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.
Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принимают одновременно истинные значения, то будет истинной конъюнкция х&у и ложным отрицание конъюнкции . В то же время будут ложными и , и , а поэтому будет ложной и дизъюнкция .
Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюнкция х&у и истинной её отрицание. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, а поэтому будет истинной и дизъюнкция .
Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.
Из равносильностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.
Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.
Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция «Штрих Шеффера». Эта операция обозначается символом х у и определяется следующей таблицей истинности:
х
| у
| х у
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, имеют место равносильности:
1) х у.
2) х&у (х у) (х у).
Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равносильной формулой, содержащей только операцию «Штрих Шеффера».
Отметим, что х у .
Аналогично может быть введена операция (х, у)
3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:
- х&у у&х – коммутативность конъюнкции.
- х у у х – коммутативность дизъюнкции.
- х&(у&z) (х&у)&z –ассоциативность конъюнкции.
- х (у z) (х у) z –ассоциативность дизъюнкции.
- х&(у z) (х&у) (х&z) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции.
- х (у&z) (х у)&(х z) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.
Докажем последний из перечисленных законов. Если х = 1, то будут истинными формулы х (у&z), х у, х z.но тогда будет истинной и конъюнкция (х у)&(х z). Таким образом, при х = 1 обе части равносильности 6 принимают одинаковые логические значения (истинные).
Пусть теперь х = 0. Тогда х (у&z) у&z, х у у и х z z, а поэтому и конъюнкция (х у)&(х z) у&z. Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равносильны одной и той же формуле у&z,и поэтому принимают одинаковые логические значения.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|