Тема 3. Финансовые потоки

Методические указания.

Финансовый поток представляет собой серию платежей R_t . Платежи могут быть постоянными по величине или переменными, положительными и отрицательными. Если члены потока платежей положительны и следуют через постоянные интервалы времени, то такой денежный поток называется финансовой рентой или аннуитетом.

По количеству выплат членов аннуитета на протяжении года различают годовые(выплата раз в году) ренты (аннуитеты) и р – срочные (выплаты р раз в году равными долями).

Для простого аннуитета выполняется условие:

R₁ = R₂ = …= R_n = R.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех его платежей с начисленными на них процентами.

Аннуитеты, платежи которых учитываются по концу периода, называются аннуитетами постнумерандо. Аннуитеты, платежи которых учитываются по началу периода, называются аннуитетами пренумерандо.

Финансовые потоки характеризуются наращенной суммой ( на конец операции ) и современной стоимостью ( на начало операции ).

Обычная годовой аннуитет

Наращенная сумма аннуитета постнумерандо сроком n – лет, с потоком постоянных по величине платежей R, вносимых на расчетный счет в конце каждого года и начислением сложных процентов один раз в год по ставке i определяется по формуле

где s_ni – коэффициент наращения аннуитета.

А аннуитета пренумерандо – формулой:

Современная величина аннуитета постнумерандо определяется формулой:

где a_ni – коэффициент дисконтирования аннуитета.

Современная величина аннуитета пренумерандо определяется формулой:

Годовой аннуитет с начислением процентов m раз в году.

Если у годовых аннуитетов проценты начисляются m раз в году, то будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

а аннуитетов пренумерандо – по формулам:

Р – срочный аннуитет,случайm = 1( платежи выплачиваются равными долями р раз в году, а проценты начисляются раз в год).

Будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

Будущая и современная стоимости аннуитетов пренумерандо рассчитываются, соответственно, по формулам:

Р – срочная рента, p ≥ 1 m ≥ 1.

Будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо для случая p ≠ m, определятся выражениями, соответственно:

При тех же условиях будущая и современная стоимости аннуитетов пренумерандо определяются по формулам:

В случае, когда p = m , будущая и современная стоимости аннуитетов постнумерандо и пренумерандо определятся, соответственно:

Если из четырех показателей финансового потока i, n, R, S(или A) известны три, то четвертый можно найти.

Определение размера платежа. Если известны ставка процента i, длительность финансовой операции n и будущая S (или современная A) стоимость аннуитета, то величина его регулярного платежа определится формулами:

Или в развернутом виде

Определение срока постоянной ренты, при известных прочих показателях денежного потока определится выражением:

Примеры решения задач.

Пример 3.1.Предприятие в течение 4 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет 5 млн. руб. на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока.

Решение:

Пример 3.2.Предприятие в течение 4 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет 5 млн. руб. на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока.

Решение:

Пример 3.3.Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока. ( p – срочная рента ).

Решение:

Пример 3.4 Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить наращенную сумму к концу указанного срока. ( p – срочная рента ).

Решение:

В рассматриваемом случае проценты начисляются m раз в году, число выплат в году p равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

Пример 3.5 Предприятие в течение 5 лет в конце каждого года перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 15 млн. руб. Ежегодное дисконтирование осуществляется по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение:

Пример 3.6.Предприятие в течение 4 лет в конце каждого квартала перечисляет на расчетный счет равными долями средства из расчета 5 млн. руб. в год на которые два раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 15%. Определить современную стоимость ренты ( p – срочная рента, m = 2 ).

Решение:

Пример 3.7.Предприятие решило сформировать инвестиционный фонд в объеме 30 млн.руб.за 5 лет, делая годовые равные вклады в банк, который выплачивает проценты по годовой ставке 10% сложных. Каков должен быть размер годового вклада?

Решение:

Найдем значение коэффициента наращения по формуле

Тогда размер годового вклада равен R = S/ s_ni = 30 / 6,1051 = 4,914 млн. руб.

Пример 3.8.Заменить годовую семилетнюю ренту с годовым платежом 100 тыс. руб. на пятилетнюю годовую ренту. Ставка процента 12% годовых сложных.

Решение:

Запишем условие равенства наращенных сумм для первой (исходной) и второй рент:

откуда находим величину годовой выплаты искомой ренты

Пример 3.9.Кредит в объеме 5 млн.руб. выдан на 4 года под 15% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита равными срочными выплатами постнумерандо. Рассчитать размер платежа.

Решение:

Выплаты по кредиту можно рассматривать как ренту с известной современной стоимостью А и искомым размером платежа R:

Выплаты основного долга образуют геометрическую прогрессию:

первый год D₁ = R - A∙i = 1,751 - 5∙0,15 = 1,001 млн. руб.;

второй год D₂ = D₁∙(1+i)¹ = 1,001 ∙ 1,15 = 1,152 млн. руб.;

третий год D₃ = D₂∙(1+i)² = 1,001 ∙ 1,15² = 1,324 млн. руб.;

четвертый год D₄ = D₃∙(1+i)³ = 1,001 ∙ 1,15² = 1,523 млн. руб.

Сумма D₁ + D₂ + D₃ + D₄ = 5 млн. руб.

Вычитая из R выплаты по основному долгу, получим величину процентных выплат по каждому году.

Пример 3.10.Предприниматель взял в банке кредит в 500 тыс. руб. под 10% годовых на 8 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 12% годовых. Определить ежегодную срочную плату в страховой фонд.

Решение:

Наращенная сумма долга на момент завершения договора составит:

Платежи в страховой фонд образуют ренту с годовым платежом R и годовой ставкой сложных процентов g = 12% годовых:

откуда находим объем годовых взносов в страховой фонд R = 1071,794 / 12,3 = =87.140 тыс. руб.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: