Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 7.7. Схема Бернулли

План:

1. Формула Бернулли

2. Асимптотические формулы

ü Формула Пуассона

ü Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

Формула Бернулли

Рассмотрим стохастический эксперимент, который является последовательностью n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие А с вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-p.

Например, имеется ящик с 30 деталями, которые проверяют на брак. Из ящика вынимают одну деталь. Если она оказалась бракованной, это означает, что произошло событие А={деталь бракованная}. Затем вынимают вторую деталь и выясняют, является ли она бракованной и т.д. Эти испытания являются независимыми, потому что тот факт, что первая деталь бракованная никак не влияет на брак любой другой детали.

Найдем вероятность события, заключающегося в том, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдет ровно k раз, Р_n(x=k), где x – число наступлений события А.

Для этого в ходе эксперимента должно произойти одно из событий

А₁·А₂·А₃·…·А_k· , …, ·А_n-k+1·А_n-k+2·…·А_n.

Здесь выписаны все возможные комбинации, в которых событие А произошло k раз и число их равно . Тогда, Р_n(x=k)=Р(А₁·А₂·А₃·…·А_k· +…+ ·А_n-k+1·

А_n-k+2·…·А_n)=Р(А₁·А₂·А₃·…·А_k· )+…+Р( ·

А_n-k+1·А_n-k+2·…·А_n)

Каждое из слагаемых в этой сумме равно р^kq^n-k, и всего таких слагаемых .

Значит, Р_n(x=k)= р^kq^n-k. Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что: а) герб выпадет 5 раз; б) герб выпадет не более 2-х раз; в) герб выпадет более 2-х раз.

Решение. Проводится серия из 8 независимых испытаний. Событие А, которое происходит или не происходит в каждом испытании, это А={выпадение герба при одном бросании}. Пусть x – число выпадений герба в серии из 8 независимых испытаний.

а) Найдем вероятность Р₈(x=5). По формуле Бернулли Р₈(x=5)= р⁵q^8-5= р⁵q³. Здесь р=Р(А)= , q=1-p= . Тогда,

Р₈(x=5)= = .

б) Найдем вероятность Р₈(x 2). Герб выпадает не более 2 раз, если происходит одно из событий {герб не выпадет}, {герб выпадет один раз}, {герб выпадет два раза}. Таким образом, Р₈(x 2)= =Р₈(x=0)+Р₈(x=1)+Р₈(x=2)= + + = .

в) Вероятность того, что герб выпадет более двух раз, удобно вычислить через противоположное событие {герб выпадет не более двух раз}. Р₈(x 2)=1- Р₈(x 2)= .

Асимптотические формулы

Применение формулы Бернулли при очень больших значениях n приводит к вычислению очень больших (n!) и очень малых чисел (р^k, q^n-k), что неудобно с вычислительной точки зрения, поэтому пользуются приближенными (асимптотическими) формулами.

Формула Пуассона.

Если проводится серия из n независимых, однородных испытаний, гдеn 100,в каждом из испытаний некоторое событие А может произойти с вероятностью р 0,1и не произойти с вероятностью q, то хорошее приближение формулы Бернулли дает формула Пуассона: Р_n(x=k)≈ , где λ=np.

При решении задач можно пользоваться тем, что значения функции Р_n(x=k)= табулированы (см. табл. 1 приложения).

Пример. При транспортировке и разгрузке керамической плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажутся ровно 4 плитки.

Решение. По условию задачи проводится 200 независимых однородных испытаний. Событие, которое наступает в одном испытании А={повреждение 1 плитки}. Так как n=200 100 и р=0,025 0,1, то применяем формулу Пуассона: Р₂₀₀(x=4)≈ . Вычислим λ=np=200·0,025=5. Р₂₀₀(x=4)≈ =0,17547.

Вероятность события, заключающегося в том, что событие появится не более k раз, вычисляется следующим образом: Р_n(x k)=Р_n(x=0)+Р_n(x=1)+Р_n(x=2)+…+Р_n(x=k)≈ = , т.е.

Р_n(x k)≈

Значения функции Р_n(xk)= табулированы (см. табл. 2 приложения).

Пример. При транспортировке и разгрузке керамической плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажутся не более 6 плиток.

Решение. Требуется найти вероятность Р₂₀₀(x6). Воспользуемся формулой: Р_n(xk)≈ .

Р₂₀₀(x6)≈ =0,76218.

Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

Если проводится серия из n независимых, однородных испытаний, гдеn 100,в каждом из испытаний некоторое событие А может произойти с вероятностью р>0,1и не произойти с вероятностью q, то хорошее приближение формулы Бернулли дает локальная формула Муавра-Лапласа: Р_n(x=k)≈ ,где и .

Функция также табулирована (см. табл. 3 приложения). Функция является четной, т.е. , поэтому таблица ее значений составлена для x .

Пример. Вероятность того, что в книге нет опечатки, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 книг ровно 75 книг без опечаток.

Решение. По условию задачи проводится 100 независимых однородных испытаний. Событие, которое наступает в одном испытании А={обнаружена опечатка в книге}. Так как n=100 100 и р=0,8>0,1, q=1-p=0,2, то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа: Р_n(x=k)≈ . Вычислим , . Тогда Р₁₀₀(x=75)≈ = = ·0,1826=0,04565.

Если нас интересует, что в серии из n независимых однородных испытаний, где n 100событие А появится не менее k₁ и не более k₂ раз, с вероятностьюр>0,1в каждом испытании, то применяютинтегральную формулу Муавра-Лапласа:

Р_n(k₁ x k₂ )≈ , где , и .

Функция называется функцией Лапласа, ее значения табулированы (см. табл. 4 приложения). Функция является нечетной, то есть , поэтому таблица ее значений составлена для . Для больших значений аргумента с хорошей точностью можно считать, что =0,5.

Пример. Вероятность того, что в книге нет опечатки, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 книг не менее 75 книг без опечаток.

Решение. Так как n=100 100 и р=0,8>0,1, q=1-p=0,2, то для нахождения Р₁₀₀(75 x 100) применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа: Р₁₀₀(75 x 100)≈ . Вычислим и : и . Тогда Р₁₀₀(75 x 100)≈ 0,5+0,3944=0,8944.

Контрольные вопросы:

1. В каких случаях применяется формула Бернулли? Приведите примеры.

2. В каких случаях применяется формула Пуассона? Приведите примеры.

3. В каких случаях применяются локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа? Приведите примеры.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: