Расчет электростатического поля
2.1. Нахождение положения электрических осей
Расчет электростатического поля заданной системы проводников (см. рис.1) базируется на одном из следствий теоремы единственности решения уравнений поля: электростатическое поле между заряженными проводящими телами не изменится, если эти тела заменить системой эквивалентных зарядов так, чтобы эквипотенциальные поверхности в поле этих зарядов совпадали с поверхностями тел и имели те же потенциалы.
Известно, что эквипотенциальные поверхности имеют вид круговых цилиндров в поле, создаваемом двумя параллельными бесконечно длинными проводниками, заряды которых равны по величине, но противоположны по знаку. Поэтому для решения поставленной задачи заменим систему цилиндрических проводников электрическими осями с линейной плотностью заряда t .
Эти электрические оси +t и -t (рис. 2) необходимо расположить так, чтобы поверхности каждого цилиндрического проводника являлись эквипотенциальными. При этом электростатическое поле между ними не должно измениться.
Для выполнения этих условий расстояния от осей цилиндров S1и S2 и электрических осей а до начала координат должны определяться формулами:
, , .
2.2. Расчет электрического заряда, емкости и энергии системы проводников
Линейная плотность заряда t рассчитывается по формуле
(9)
где e0- электрическая постоянная, e0= 8.86 · 10-12Ф/м; r1+, r2+, r1-, r2- - расстояния от осей +t и -t до точек 1 и 2 на поверхностях цилиндров. Эти расстояния определяются выражениями:
r1- =S1+а – r1, r1+ = r1- (S1- а), r2- = r2- (S2- а), r2+ = S2+а - r2.
Из выражения (9) находим емкость системы проводников
. (10)
Энергия электрического поля равна
.
2.3. Вычисление потенциала и напряженности поля в точке М
Потенциал в точке М находим из выражения
,
где rМ-и rМ+- расстояния от точки М до осей -t и +t, равные
и .
А - постоянная интегрирования:
Вектор напряженности поля в точке М можно представить в виде векторной суммы двух составляющих (рис. 3)
_ _ _
ЕМ = ЕМ++ ЕМ-,
где ЕМ+и ЕМ-- напряженности, создаваемые отдельно взятыми осями:
, .
Результирующая напряженность
.
2.4. Расчет поверхностной плотности заряда на цилиндрической поверхности и построение эпюры распределения заряда
Заряды распределяются по поверхностям цилиндров с неодинаковой плотностью. В соответствии с граничным условием на границе раздела проводника и диэлектрика вектор электрического смещения D в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводника, численно равен поверхностной плотности заряда s:
D = s .
Поэтому
s = e e0E, (11)
где E- напряженность поля на поверхности, определяемая по формуле
, (12)
где ri-и ri+- расстояния от осей -t и +t до i-ой точки на поверхности цилиндра. Подставляя формулу (12) в выражение (11), получим
. (13)
Для определения ri-и ri+проведем в масштабе окружность радиусом первого цилиндра и отметим на ней точки через каждые 30О(рис. 4,а). Поверхностную плотность заряда s будем определять в этих точках. Расстояния r- и r+ до каждой точки измеряем с помощью линейки. В качестве примера на рис. 4,а показано измерение этих расстояний до точки 3.
Рис. 4 Построение эпюры поверхностной плотности заряда
??????? 3
?????? ????????????? ????????? ??????
?????
?????
r-,
?
r+,
?
Equation.3 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,
??/?2
| | Так как электростатическое поле симметрично относительно горизонтальной оси, достаточно определить поверхностную плотность заряда в верхней половине цилиндра. Подставляя в формулу (13) измеренные значения ri-и ri+, определяем поверхностную плотность заряда в семи верхних точках. Результаты измерений и вычислений заносим в табл. 3. Затем от нанесенных точек в масштабе откладываем по радиусу поверхностную плотность заряда (рис. 4,б).
2.5. Определение максимально допустимого напряжения между электродами
Наибольшую величину напряженность электрического поля имеет на цилиндре меньшего радиуса в точке, лежащей на оси х и ближайшей к соседнему цилиндру (рис. 2, точка 1). Именно в этой точке начнется пробой диэлектрика, когда напряжение между цилиндрами станет равным Umах. Так как напряженность поля пропорциональна напряжению, приложенному к проводникам, то величину Umахможно найти из пропорции
,
то есть
, (14)
где U – заданная величина напряжения, В; E1– напряженность поля в точке 1 (рис. 2), определяемая по формуле (12) при ri-= r1-и ri+= r1+. Если меньший радиус имеет правый цилиндр, то пробой диэлектрика начнется в точке 2 (рис. 2) и в формулу (14) вместо E1следует подставить E2, вычисляя ее по формуле (12), полагая в ней ri-= r2- и ri+= r2+.
2.6. Расчет и построение картины электростатического поля
Картина электростатического поля представляет собой совокупность из m силовых линий и n эквипотенциальных поверхностей. Силовые линии начинаются на положительном заряде (левом цилиндре ) и заканчиваются на отрицательном (правом). Эквипотенциали охватывают оба цилиндра. Поверхности последних также эквипотенциальны и входят в заданное число n (рис.8).
Расчет и построение картины поля проведем на конкретном числовом примере.
Пусть заданы следующие значения величин: e = 3, U = 1600 В,
r1= 1 см, r2= 3.5 см, m = 8, d = 12 см, n = 5. Расчеты дали следующие результаты : а = 5.44 см, А = 541.3 В, t = 7.377·10-8Кл/м. По этим данным проводим дальнейшие вычисления.
По формуле определяем шаг, на который изменяется потенциал при переходе от предыдущей эквипотенциали к последующей:
В.
Дальше находим потенциалы эквипотенциальных поверхностей.
Потенциал первого цилиндра равен нулю. Это первая эквипотенциаль: φ1=0. Потенциалы остальных эквипотенциалей соответственно равны: φ2=φ1+Δφ=400 В, φ3=φ2+Δφ=800 В и т.д. Последняя, n-я эквипотенциаль (в данном примере пятая ), - это поверхность первого цилиндра. Ее потенциал равен величине приложенного напряжения U: φ5=1600 В.
Рассмотрим рис.5.
Рис.5. k –я эквипотенциальная поверхность
На нем показана одна из эквипотенциальных поверхностей ( k-я ). Положения ее крайних точек k' и k" определяются расстояниями rk' и rk" от положительно заряженной оси, вычисляемыми по формулам:
, .
Входящая в последние равенства величина Bkопределяется выражением
.
Все значения, найденные по приведенным формулам, сводим в табл. 4.
Таблица 4
Расчет эквипотенциальных поверхностей
При построении k-й эквипотенциали в соответствии с рис.5 величину rk' в сантиметрах откладываем всегда вправо от оси , а rk" - влево,если она положительна, и вправо, если отрицательна. В последнем случае точка k" оказывается правее, чем k'. Отрезок k'k" является диаметром, а его половина, равная Rk, радиусом k-й эквипотенциали.
Установив острие циркуля в середину отрезка k'k, проводим окружность через точки k' и k". Это и будет k-я эквипотенциальная поверхность.
В качестве примера на рис.6 показано построение первой и четвертой эквипотенциалей. Построение выполнено в масштабе 1:2, т.е. все размеры , взятые из табл. 4, уменьшены в два раза.
Рис. 6. Построение эквипотенциальных поверхностей
Начинаем с первой эквипотенциали . Расстояния r1' = 8,4 см и r1" = 15,4 см, взятые из первой строки табл. 4, откладываем вправо от заряда +t и получаем точки 1' и 1". Отрезок 1'1"- диаметр, а его середина C1– центр окружности первой эквипотенциали. Все остальные построения выполняются аналогично. В соответствии со сказанным выше величину r1" откладываем вправо, так как она отрицательна, а r4" - влево.
Напоминаем, что первая и последняя эквипотенциали должны совпасть с поверхностями цилиндров.
Силовые линии напряженности в электростатическом поле заряженных проводящих цилиндров представляют собой окружности, нормальные к эквипотенциальным поверхностям. Так как поле в пространстве между цилиндрами совпадает с полем двух параллельных заряженных осей, то силовые линии направляются от заряда +t к заряду -t. Их построение выполняется в следующем порядке.
Через точку +t под углом a = проводим m прямолинейных отрезков (рис.7), каждый из которых показывает направление выхода силовой линии из положительного заряда, т.е. является касательным к силовой линии. Из точки +t проводим перпендикуляры к каждому из этих отрезков. Точки пересечения этих перпендикуляров с осью y являются центрами искомых окружностей (силовых линий). Так как электростатическое поле внутри цилиндров отсутствует, то силовые линии здесь не проводятся. Их начала и концы лежат на поверхностях цилиндров. В число силовых линий входят и участки прямой, лежащей на оси x .
Рис.7. Построение cиловых линий
Эквипотенциальные поверхности и силовые линии, построенные на одном чертеже, составляют общую картину электростатического поля
(рис. 8). Здесь же показан вектор напряженности поля в точке M.
Рис. 8. Картина электростатического поля
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|