Сделай Сам Свою Работу на 5

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ





 

  1. Цель лабораторной работы
  1. Усвоить теорию по теме лабораторной работы.
  2. Научится находить по выборке объема :

а) опытные линии регрессии;

б) выборочный коэффициент корреляции;

в) выборочные уравнения прямых линий регрессии.

  1. Краткая теория

Теория корреляции применяется в основном для решения задач обоснованного прогноза.

Она решает две главные задачи:

1) определение (оценка) уравнений регрессии, или, как говорят, установление формы связи между случайными величинами (количественными признаками генеральной совокупности);

2) определение тесноты и силы этой связи.

Случайные величины и могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение закона распределения другой.

Статистическая зависимость называется корреляционной, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой.

Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины , соответствующих . Очевидно, что , это уравнение называют выборочным уравнением регрессии по .



Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины , соответствующих . Очевидно, что , это уравнение называют выборочным уравнением регрессии по , а ее график – выборочной линией регрессии по . Условные средние и , которые находят по выборке, принимают в качестве оценок условных математических ожиданий и .

Если обе линии регрессии по и по - прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреляция). Для нормально распределенного случайного вектора теоретические уравнения регрессии линейные:

, (1)

, (2)

где

- коэффициент корреляции,

, (3)

где

Если , то линии регрессии наклонены вправо, если - влево.

Если , то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины и связаны между собой линейной функциональной зависимостью ( и ).

Если , то линии регрессии проходят параллельно осям координат, в этом случае и некоррелированы, в частности так будет всегда, когда и - независимы; обратное заключение сделать нельзя, так как случайные величины и могут быть связаны некоторой нелинейной функциональной зависимостью, а коэффициент корреляции .



Таким образом, величина коэффициента корреляции характеризует, насколько близка связь между случайными величинами и к линейной зависимости, если , то считают, что линейной корреляционной зависимости нет.

Выборочные уравнения прямых регрессий, найденные методом наименьших квадратов, имеют вид:

, (4)

, (5)

где - выборочная средняя (оценка математического

ожидания случайной величины ),

- выборочная средняя (оценка математического

ожидания случайной величины ),

,

где - выборочная дисперсия (оценка ).

где - выборочная дисперсия (оценка ),

- выборочный коэффициент корреляции (оценка

коэффициента корреляции), причем

, где ,

- объем выборки;

- частота наблюдавшегося значения случайного вектора

или . (6)

Выборочный коэффициент корреляции также служит для характеристики линейной связи между и .

 

  1. Задание на лабораторную работу

По выборке, приведенной в корреляционной таблице:

1. Рассчитать для каждого значения случайной величины соответствующую условную среднюю , результат записать в виде таблицы

изобразить точки на поле корреляции (прямоугольная система координат, на которой отмечены значения изучаемого случайного вектора) и соединить их отрезками прямой, получим ломаную линию, которую называют опытной линией регрессии по .

Замечание. Если бы была возможность неограниченного увеличения объема выборки, то влияние всех факторов, кроме , на изменение взаимно погашалось бы, и в пределе опытная линия регрессии перешла бы в плавную линию, представляющую собой теоретическую линию регрессии. Аналогично могла бы быть построена опытная линия регрессии по .



2. Найти выборочный коэффициент корреляции, по его величине сделать вывод о том, можно ли опытную линию регрессии заменить прямой линией регрессии.

3. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии по , преобразовать его к виду и построить график уравнении на поле корреляции.

 

  1. Решение типового примера

Координаты падения ракеты есть нормальный случайный вектор. Результаты 100 испытаний записаны в корреляционной таблице (табл. 1)

Таблица 1

       
     
   
   
   
n = 100

 

Решение:

1. Найдем опытную линию регрессии по

 

 

Итак,

 

16,0 21,6 34,7 44,8 44,0

 

Построим опытную линию регрессии на поле корреляции

 

Рис. 1

2. Найдем выборочный коэффициент корреляции по

формуле (6). Для этого составим корреляционную табл.2, переходя к условным вариантам и по формулам:

и - ложные нули,

и - разность между соседними вариантами и .

Например,

и так далее получим

 

 

Таблица 2

-2 -1
-2        
-1      
   
   
   
n = 100

 

Найдем и :

Найдем и :

Найдем и :

 

Найдем , для чего составим расчетную таблицу 3.

 

Таблица 3

 

    -8        
   
-8    
    -12     -8      
       
-6     -8    
      -10          
           
           
               
           
           
               
           
           
 

 

1) Произведение частоты на варианту , то есть , записываем в правом верхнем углу клетки, содержащей значение частоты.

2) Складываем все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной строки, и их сумму помещаем в клетку этой же строки «столбца ».

3) Умножаем варианту на и полученное произведение записываем в соответствующую клетку «столбца ».

4) Суммируя числа последнего столбца табл. 3, находим

 

Для контроля вычислений аналогично находим сумму чисел последней строки. Совпадение сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

 

Вывод: так как достаточно велико, то опытную линию регрессии можно заменить прямой линией.

 

3. Найдем выборочное уравнение прямой линии регрессии по по формуле (4).

1) Найдем и , учитывая, что

.

2) Найдем и :

;

Следовательно, уравнение прямой линии регрессии по будет иметь вид:

или окончательно:

Построим график полученной прямой на поле корреляции по двум точкам (рис. 1)

18,64 47,64

 

 

  1. Контрольные вопросы

1. Какие главные задачи решает теория корреляции?

2. Какая зависимость между случайными величинами называется статистической?

3. Какая статистическая зависимость называется корреляционной?

4. Как определяются условная средняя, выборочное уравнение регрессии, выборочная линия регрессии?

5. Какая корреляционная зависимость называется линейной?

6. Запишите теоретические уравнения регрессии для нормального распределенного случайного вектора.

7. Запишите выборочные уравнения прямых регрессий, найденные по выборке методом наименьших квадратов.

8. Дайте определение коэффициента корреляции случайного вектора.

9. Запишите формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции.

10. Какой вывод можно сделать из того, что ?

 

 

Варианты заданий

Вариант 1 Вариант 2

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

Вариант 3 Вариант 4

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

 

Вариант 5 Вариант 6

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

Вариант 7 Вариант 8

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

 

 

Вариант 9 Вариант 10

 
                 
             
           
             
               
                     
                         

 

Вариант 11 Вариант 12

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

Вариант 13 Вариант 14

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

 

Вариант 15 Вариант 16

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

 

 

Вариант 17 Вариант 18

 
                     
                 
             
             
             
                     
                         

Вариант 19 Вариант 20

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.