Свойства неопределённого интеграла
1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:
1. 3 Таблица основных интегралов
1
| 8
| 2
| 8.1
| 2.1
| 8.2
| 2.2
| 9
| 3
| 9.1
| 3.1
| 9.2
| 3.2
| 10
| 3.3
| 4
| 4.1
| 10.1
| 4.2
| 10.2
| 5
| 11
| 5.1
| 11.1
| 5.2
| 11.2
| 6
| 12
| 6.1
| 12.1
| 6.2
| 12.2
| 7
| 13
| 7.1
| 13.1
| 7.2
| 13.2
| 14
| 15
|
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным, называется непосредственным интегрированием.
Замечание 1.
Под тождественными преобразованиями будем понимать:
- применение формул элементарной математики;
- почленное деление числителя подынтегрального выражения на знаменатель;
- дополнительные или искусственные преобразования, которые не нарушают равносильности выражения.
Интегрирование алгебраических функций
1
Выполните самостоятельно
2 3 4
5
Выполните самостоятельно
6 7 8
Указание. Примените формулу
9 Указание. Числитель ПФ разложите на множители:
10 Указание. В числителе ПФ примените формулу:
11 . 12 .
Указание. Числитель ПФ разложите на множители:
13
Интегрирование тригонометрических функций
14
.
15
.
Выполните самостоятельно
18 Указание. Примените формулу и выполните почленное деление числителя ПФ на знаменатель.
19 20 21
Указание. Примените формулу: .
22 =|примените формулу: |= = |примените формулу |= = =| примените формулы |=
Интегрирование дробно- рациональных функций с помощью дополнительных преобразований
Замечание. При вычислении неопределенных интегралов непосредственным способом применяются дополнительные или искусственные преобразования, не нарушающие равносильности подынтегральной функции.
Рассмотрим на конкретных примерах
23
.
24
.
25 .
26
Выполните самостоятельно
27 28 29 30 31
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае «удачной» подстановки). Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Тем не менее, рассмотрим несколько общих подходов (назовем их правилами) к данному методу, что позволит систематизировать умение интегрировать методом подстановки и определять новую переменную.
2.2.1 Интегрирование функций (табличные интегралы) к аргументу, которых прибавляется постоянная величина
Рассмотрим некоторые табличные интегралы к аргументу, которых прибавляется (вычитается) постоянная величина .
32
Решение. Введем подстановку x+2 = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
, ,
Подставим вместо x+2 и их значения через t в данный интеграл, получим:
Легко заметить, что формулы интегрирования сохраняют инвариантность (вид). В данном случаи степенная функция интегрируется по аргументу (х+2).
33
Правило 1
Если к аргументу подынтегральной функции прибавляется (вычитается) постоянная величина , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность
| 34
2.2.2 Интегрирование функций (табличные интегралы) аргумент, которых умножается
На постоянную величину
Рассмотрим некоторые табличные интегралы аргумент, которых умножается на постоянную величину
35
Решение. Введем подстановку 3x = t (*). Найдем дифференциал от правой и левой частей равенства (*), получим:
, ,
Подставим вместо и их значения через t в данный интеграл, получим:
|заменим t его выражением через x|=
Замечание В дальнейшем процедура решения, представленная, в примерах 32, 35 будет записываться в виде:
.
36
Правило 2
Если аргумент подынтегральной функции умножается на постоянную величину , то формулы интегрирования сохраняют инвариантность, результат интегрирования умножается на число .
| 37
38
Замечание. Правила 1 и 2 к подынтегральной функции могут применяться одновременно.
39 40
41
42
43
Выполните самостоятельно
44 .
45
46 .
49 .
48
2.4 Интегралы вида: ,
Интегралы данного вида находятся путем выделения полного квадрата из данного
квадратного трехчлена по формуле:
(**) и применения правил 1,2.
Интеграл ,после выделения полного квадрата сводится к формулам 9 или 10.
Интеграл ,после выделения полного квадрата сводится к формулам 8 или
11.
50 |выделите в знаменатели ПФ полный квадрат по формуле (**)| =
51
52 = (сомножитель (-1) внесем в квадратные скобки, получим )=
Выполните самостоятельно
53 54
55 56
2.2.3 Интегрирование дробных функций(рациональных или иррациональных), когда в знаменатели или под корнем в знаменатели стоит функция, производная которой равна числителю(или приводится к числителю).
Интегралы этого вида находятся путем замены многочлена стоящего в знаменателе ПФ новой переменной
57
Замечаем, что производная знаменателя ПФ , отличается от числителя только постоянным множителем. Выполним интегрирование, за новую переменную примем
58
Легко заметить, что если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл всегда равен натуральному логарифму знаменателя.
59
60
61
Правило 3
Если под знаком интеграла стоит дробная функция(рациональная или иррациональная), в знаменателе которой или под корнем в знаменателе содержится функция, производная которой равна числителю(или приводится к числителю), то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем функция, стоящая в знаменатели обозначается за t.
где или где , то
|
Выполните самостоятельно
62 63
64 65
2.2.4 Интегралы вида:
В пункте 2.2.4 рассмотрим интегралы, в которых ПФ представлена как произведение сложной функции и производной ее промежуточного аргумента. В этом случае промежуточный аргумент принимается за новую переменную t .
Например
Функция сложная, ее промежуточный аргумент равен , производная которого содержится в ПФ, поэтому интеграл сводится к табличной подстановке
Рассмотрим интегралы данного вида
66
67 =
68
69
70
71
72
73
Выполните самостоятельно
74 75
76 77
Правило 4
Если под знаком интеграла стоит сложная функция в произведение с производной своего промежуточного аргумента, то интеграл вычисляется способом замены переменной, причем промежуточный аргумент обозначается за t.
,
| Замечание Используя правило 4 вычисляются интегралы, которые с помощью подстановки сводятся к табличным интегралам по формулам 8-11. (Обратите внимание, что данные интегралы имеют «специфический» вид).
78
79
80
81
Выполните самостоятельно
82 83
84 85
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|