Интеграл от разрывной функции

(несобственный интеграл второго рода)

Определение 3.2. Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , где , то его называют сходящимся несобственным интегралом второго рода и обозначают , т.е.

. (3.2)

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба предела, стоящих справа существуют.

Пример 3.5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

Следовательно, данный интеграл расходится.

Пример 3.6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

Следовательно, данный интеграл сходится.

4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости замкнутую область . Область называется замкнутой, если она ограничена замкнутой линией, и точки, лежащие на границе, считаются принадлежащими области .

Пусть в области задана непрерывная функция .

Схема получения двойного интеграла

1) Разбиваем область на «элементарных областей» .

2) Площадь области обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .

3) Возьмем произвольную точку .

4) Находим , что равно объему тела (призма), площадь основания которого , а высота равна .

5) Составляем интегральную сумму

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что . Если предел существует и не зависит от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области .

Таким образом, двойным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

. (4.1)

- интегрируемая функция в области ;

- область интегрирования;

и - переменные интегрирования;

или - элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 4.1 (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция непрерывна в замкнутой области ,то она интегрируема в этой области.

Замечание: далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции ( ) численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

2. .

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где - линия, разделяющая и (см. рисунок), то

4. Если в области имеет место неравенство , то и

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

6. Если , , то , где - площадь области интегрирования .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

Величину называют средним значением функции в области .

Вычисление двойного интеграла

В декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

. (4.2)

Правую часть (4.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и ( ), кривыми и , причем для всех , т.е. область - правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем

. (4.3)

Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.

Замечания.

1. Формулы (4.2) и (4.3) справедливы и в случае, когда , .

2. Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как и по формуле (4.2), так и по формуле (4.3).

3. Если область не является правильной ни «по », ни «по », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси или оси .

4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример 4.1. Вычислить , если область ограничена линиями: .

Решение. I способ.

II способ. Построенная область является правильной в направлении оси . Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой (1.3):

.

,

1 2 34

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.