Теорема 1.2 (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей).
Всякую правильную дробь , знаменатель которой разложен на множители
,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
(1.4)
,
где - некоторые действительные коэффициенты.
Например, .
Для нахождения коэффициентов в равенстве (1.4) можно применить метод неопределенных коэффициентов. Суть метода такова:
1) В правой части равенства (1.4) приводим к общему знаменателю сумму простейших дробей. В результате получаем тождество , где - многочлен с неопределенными коэффициентами.
2) Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.
.
3) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получаем систему уравнений, из которой и определяем искомые коэффициенты.
Интегрирование рациональных дробей
Выше были введены четыре типа простейших дробей. Найдем интегралы от простейших дробей.
(I) .
(II) .
Пример 1.6. Найти интеграл .
Решение.
,
(III)Рассмотрим интеграл
.
.
Пример 1.7. Найти интеграл .
Решение.
.
,
(IV) Интеграла типа рассматривать не будем.
Для интегрирования рациональных дробей сформулируем общее правило.
1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 1.8. Найти интеграл .
Решение.
.
Методом неопределенных коэффициентов найдем .
;
;
.
Составляем и решаем систему линейных уравнений:
Þ Þ Þ .
Далее находим интеграл:
.
,
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
Рассмотрим некоторые случаи нахождения неопределенных интегралов от тригонометрических функций. Функции, содержащие и , над которыми выполняются рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать , где - знак рациональной функции.
Вычисление неопределенного интеграла вида сводится к вычислению интеграла от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
В этом случае:
, , , .
Поэтому
,
где -рациональная функция от .
Пример 1.9. Найти следующие интегралы:
1) ;
2)
.
,
Универсальная подстановка часто приводит к довольно громоздким рациональным дробям и потому на практике применяется не очень часто. В некоторых случаях лучше применить другие подстановки. В частности удобны следующие правила:
1) если функция нечетная относительно , т.е. ,то используется подстановка , которая рационализирует интеграл;
2) если функция нечетная относительно , т.е. ,то используется подстановка ;
3) если функция четная относительно и , т.е. ,то используется подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .
Пример 1.10. Найти интеграл .
Решение.
. ,
Интегралы вида
Для нахождения интегралов данного вида используются следующие приемы:
1) подстановка , если - целое положительное нечетное число;
2) подстановка , если - целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: , , , если и - целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка , если - есть четное отрицательное число.
Пример 1.1. Найти следующие интегралы:
1)
.
2)
.
Надо отметить, что этот же интеграл можно найти, представив в виде и раскрыв в числителе скобки.
,
Интегралы вида
Интегралы вида , и вычисляются с помощью следующих тригонометрических формул:
,
,
.
Пример 1.12. Найти интеграл .
Решение.
,
Интегрирование иррациональных функций
Интегралы иррациональных функций, содержащих
Квадратный трехчлен в знаменателе
Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы вида и называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат и делаем подстановку, в результате чего приходим к табличным интегралам.
Пример 1.13. Найти интегралы:
1)
.
2)
.
,
Интеграл вида целесообразно находить с помощью подстановки .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|