Сделай Сам Свою Работу на 5

Теорема 1.2 (о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей).





Всякую правильную дробь , знаменатель которой разложен на множители

,

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

(1.4)

 

,

где - некоторые действительные коэффициенты.

Например, .

Для нахождения коэффициентов в равенстве (1.4) можно применить метод неопределенных коэффициентов. Суть метода такова:

1) В правой части равенства (1.4) приводим к общему знаменателю сумму простейших дробей. В результате получаем тождество , где - многочлен с неопределенными коэффициентами.

2) Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е.

.

3) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получаем систему уравнений, из которой и определяем искомые коэффициенты.

 

Интегрирование рациональных дробей

 

Выше были введены четыре типа простейших дробей. Найдем интегралы от простейших дробей.

(I) .

 

(II) .

Пример 1.6. Найти интеграл .

Решение.

,

(III)Рассмотрим интеграл

.

 

 

 

.

 

Пример 1.7. Найти интеграл .

Решение.

.

,

(IV) Интеграла типа рассматривать не будем.



 

Для интегрирования рациональных дробей сформулируем общее правило.

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример 1.8. Найти интеграл .

Решение.

.

Методом неопределенных коэффициентов найдем .

;

 

;

 

.

Составляем и решаем систему линейных уравнений:

Þ Þ Þ .

 

Далее находим интеграл:

.

,

 

Интегрирование тригонометрических функций

 

Интегралы вида

 

Рассмотрим некоторые случаи нахождения неопределенных интегралов от тригонометрических функций. Функции, содержащие и , над которыми выполняются рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать , где - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенного интеграла вида сводится к вычислению интеграла от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.



В этом случае:

, , , .

Поэтому

,

где -рациональная функция от .

 

Пример 1.9. Найти следующие интегралы:

1) ;

2)

.

,

Универсальная подстановка часто приводит к довольно громоздким рациональным дробям и потому на практике применяется не очень часто. В некоторых случаях лучше применить другие подстановки. В частности удобны следующие правила:

1) если функция нечетная относительно , т.е. ,то используется подстановка , которая рационализирует интеграл;

2) если функция нечетная относительно , т.е. ,то используется подстановка ;

3) если функция четная относительно и , т.е. ,то используется подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .

Пример 1.10. Найти интеграл .

Решение.

. ,

 

Интегралы вида

 

Для нахождения интегралов данного вида используются следующие приемы:

1) подстановка , если - целое положительное нечетное число;

2) подстановка , если - целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения порядка: , , , если и - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка , если - есть четное отрицательное число.

Пример 1.1. Найти следующие интегралы:

1)

.

 

2)

.

 

Надо отметить, что этот же интеграл можно найти, представив в виде и раскрыв в числителе скобки.

,

 

Интегралы вида

 

Интегралы вида , и вычисляются с помощью следующих тригонометрических формул:

,

,

.

Пример 1.12. Найти интеграл .

Решение.

,

 

Интегрирование иррациональных функций

 

Интегралы иррациональных функций, содержащих



Квадратный трехчлен в знаменателе

 

Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы вида и называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат и делаем подстановку, в результате чего приходим к табличным интегралам.

 

Пример 1.13. Найти интегралы:

1)

.

 

2)

.

,

Интеграл вида целесообразно находить с помощью подстановки .

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.