Интегрирование трансцендентных функций

ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ

СПЕЦИАЛЬНЫХ ПОДСТАНОВОК

Теоретические вопросы

1. В каких случаях рационализация дифференциала достигается подстановкой cosx=t? Приведите доказательство.

2. В каких случаях рационализация дифференциала достигается подстановкой sinx=t? Приведите доказательство.

3. В каких случаях применяется подстановка , ?

4. Дайте определение биномиального дифференциала.

5. Назовите универсальную подстановку, с помощью которой всегда достигается рационализация дифференциала вида и покажите, как ею воспользоваться.

6. В каких случаях берется интеграл

7. Укажите подстановки Чебышева.

8. Что такое «интегральный логарифм», «интегральный синус» и «интегральный косинус»?

9. Записать универсальную тригонометрическую подстановку.

Практические задания

Частные подстановки

1) Если функция нечетная относительно , то есть , то применяется подстановка ;

2) Если функция нечетная относительно , то есть , то применяется подстановка ;

3) Если функция четная относительно и , то есть , то применяется подстановка или .

Пример 1.Вычислить интеграл .

Решение.

; .

Функция нечетная относительно , тогда

Можно было решить проще, а именно

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Функция – нечетная относительно , тогда

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Функция – четная относительно и .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислите интегралы.

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

Биномиальный интеграл

Интеграл ( , ), числа , и – рациональные, а и – вещественные.

Как было показано П.Л. Чебышевым, интеграл от дифференциального бинома берется тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел , или является целым:

– если , используется подстановка , где – наименьшее общее кратное чисел и ;

– если , работает подстановка , где – знаменатель дроби ;

– если , где – знаменатель дроби .

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Здесь , поэтому используем подстановку , тогда выполняя подстановку, имеем

в последнем интеграле следует воспользоваться рекуррентной формулой для интегрирования рациональных выражений (формула 4), тогда

Выполняя подстановку, получим:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. , здесь - имеем второй случай, поэтому используем подстановку , тогда . Выполним полную замену в интеграле

Распишем подынтегральное выражение на сумму

приравнивая числители, имеем систему

Решая систему, получаем , следовательно, возвращаясь к интегралу, имеем

Вернемся к старой переменной, так как то

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. ,

здесь - имеем третий случай, поэтому используем подстановку

тогда . Выполним полную замену в интеграле

Вернемся к старой переменной, так как , то

Упражнения для самостоятельной работы

2. Вычислите интегралы.

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .
7)	8)	9)

Интегрирование трансцендентных функций

Интегралы от трансцендентных функций часто можно свести к рациональному выражению с помощью так называемой универсальной подстановки

, (1)

при этом

и , (2)

функции также рационально выражаются через t:

(3)

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся формулами (1), (2), (3), тогда

. (4)

Распишем полученную дробь на три дроби:

следовательно (4) примет вид

возвращаясь к переменной х, получим

Замечание 1.Универсальная подстановка (1), (2), (3), приводит иногда к сложным выкладкам и пользоваться ею нужно лишь в крайнем случае, когда иных путей нет. Поэтому на практике, там, где это возможно, целесообразно прибегать к другим тригонометрическим приемам и подстановкам.

Замечание 2.Многие интегралы от тригонометрических функций могут быть вычислены не только применением указанных выше подстановок, но и с помощью некоторых преобразований интегральной функции. Для этих преобразований нельзя дать никаких общих правил, а всякий раз индивидуальные особенности подынтегральной функции должны подсказать те преобразования, которые ведут к цели более простым и коротким путем.

Замечание 3.При вычислении интеграла вида: