Метод интегрирования по частям

Формулой интегрирования по частям называют равенство

. (1)

Применение этой формулы имеет целью заменить отыскание интеграла левой части отысканием интеграла правой, когда последний проще. К числу интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, относятся, например, интегралы вида:

где P(x)- многочлен (в частности, степенная функция ), f(x) - одна из следующих функций:

Дадим два практических совета:

1. Если подынтегральная функция представляет собой произведение либо тригонометрической функции на алгебраическую, либо показательной на алгебраическую, то за u следует принимать алгебраическую функцию.

2. Если в подынтегральное выражение входит множителем либо одна из обратных тригонометрических функций и др., либо функция lnx, то за и. следует выбирать одну из указанных функций.

Пример 5. Вычислим следующие интегралы:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

Решение. 1. Учитывая первый практический совет, положим u=x, . Тогда . Следовательно,по формуле (1) имеем:

Замечание 8. Этот же интеграл можно взять другим способом. Если сравнить подынтегральную функцию и полученный ответ, то легко заметить, что оба они представляют собой произведение одной и той же функции на многочлен первой степени относительно x. Отсюда следует, что для интеграла .решение следует искать в виде , где A и B - пока еще неопределенные коэффициенты.

Такой метод решения носит название метода неопределенных коэффициентов.

Итак, решим этот пример методом неопределенных коэффициентов.

Продифференцировав обе части этого тождества, получаем:

Так как производная от интеграла равна подынтегральной функции, то имеем:

Поскольку , сократив на , получаем тождество

в котором коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа должны быть обязательно одинаковыми. Отсюда имеем систему

решив которую, находим:

Таким образом,

что совпадает с ранее полученным ответом.

2. По аналогии с решением примера 1 получаем:

Примечание 3. Мы предлагаем такое оформление решения задачи методом интегрирования по частям, так как при такой записи легко запоминается формула (1).

Левый столбик в скобках записывается из данного интеграла , а правый - из полученного .

3. Нередко формулу интегрирования но частям приходится применять последовательно несколько раз.

Этот интеграл также берется методом неопределенных коэффициентов: .

Остается продифференцировать левую и правую части этого тождества и сравнить коэффициенты при выражениях: слева и справа.

Проделайте самостоятельно и сравните ответ с полученным ранее.

Замечание 9. Интегралы, рассмотренные в примерах 1-3, представляют собой частные случаи интегралов вида:

в которых P(x)- многочлен, а a и b - постоянные величины.

Также интегралы берутся либо способом последовательного интегрирования по частям, причем за u следует всегда принимать многочлен P(x) и интегрировать придется столько раз, какова степень многочлена, либо способом неопределенных коэффициентов как это показано в примерах 1, 3.

4. Учитывая второй практический совет, получим:

.Интеграл берется подстановкой или подведением под знак дифференциала функции . Проделайте самостоятельно.

5. По аналогии с решением примера 26 имеем:

6. .

7. .

Иногда повторное применение формулы (1) интегрирования по частям приводит к уравнению искомого интеграла. Рассмотрим этот случай в следующем примере.

8. Обозначим искомый интеграл буквой I, получаем:

Перенося 9I в левую часть равенства и разделив на 10, находим

Замечание 10. При решении примера 8 мы могли продолжить . Но в случае при повторном интегрировании по частям следовало бы обязательно в качестве функции u выбрать показательную функцию.