Интегрирование некоторых иррациональных функций.

I.Рассмотрим здесь интегралы вида

где – числа, .

Чтобы вычислить этот интеграл, следует вычислить производную подкоренного выражения:

Затем в числителе подынтегральной функции следует выделить эту производную, поделив «уголком» числитель на полученную производную, то есть представить числитель в виде суммы двух слагаемых:

Тогда

(9.1)

Рассмотрим каждый из интегралов, стоящих в правой части (9.1), отдельно.

a) Положим . Тогда .

b) (9.2)

Здесь в подкоренном выражении выделен полный квадрат. В результате правая часть равенства (9.2) приведена к табличному интегралу. Если , это интеграл типа (3.16) из таблицы, если – интеграл типа (3.14).

Пример 9.1. . Воспользуемся формулами , . Тогда

Пример 9.2. . Воспользуемся формулами . Получим

Пример 9.3. . Воспользуемся формулами . Получим

II.В разделе 7 мы показали, как интегрировать дробно-рациональные функции. В дальнейшем основным приемом интегрирования будет отыскание таких подстановок (раздел 5), которые позволят избавиться от радикалов и приведут подынтегральное выражение к рациональному виду и тем самым позволят выразить исходный интеграл в виде функции аргумента . Данный прием называется рационализацией подынтегрального выражения. Если при этом функция такая, что существует обратная и можно выразить через с помощью элементарных функций, то интеграл представится и в виде функции аргумента . Рассмотрим здесь тригонометрическую рационализацию для интегралов вида и , где через обозначена дробно-рациональная функция двух аргументов.

1). В интеграле положим

(9.3)

и вычислим

Продифференцируем (9.3) и найдем . Тогда исходный интеграл примет вид .Вычисляя его, получим функцию, зависящую от и тригонометрических функций аргумента .Чтобы вернуться к переменной , следует из (9.3) выразить тригонометрическую функцию

, (9.4)

откуда . Затем в прямоугольном треугольнике отметим острый угол (рис. 1), противолежащий ему катет и гипотенузу . Тогда по теореме Пифагора прилежащий катет равен .

В этом треугольнике необходимые нам значения тригонометрических функций аргумента выражаем как соотношения известных длин катетов и гипотенузы.

Замечание. Изложенный прием определения тригонометрических функций аргумента применим лишь для . Но в силу свойств тригонометрических функций все формулы справедливы и для других значений .

В примере 5.13 уже был применен прием рационализации для интеграла такого типа.

Пример 9.4 [6]. . Воспользуемся заменой (9.3), где , и формулами , . Получим:

Вернемся теперь к переменной . Из (9.4) следует и , а из треугольника, изображенного на рисунке 1, видно, что . Тогда

2).В интеграле положим

(9.5)

и вычислим

Продифференцируем (9.5) и найдем . Тогда исходный интеграл примет вид .Решая его, получим функцию, зависящую от и тригонометрических функций аргумента .Чтобы вернуться к переменной , следует из (9.5) выразить тригонометрическую функцию

, (9.6)

откуда . Затем в прямоугольном треугольнике отметим острый угол (рис. 2), противолежащий ему катет и прилежащий к нему катет . Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна .

Далее необходимые нам значения тригонометрических функций аргумента выразим как соотношения известных длин катетов и гипотенузы в этом треугольнике. Приведем примеры применения приема рационализации для интеграла рассмотренного типа.

Пример 9.5. . Воспользуемся заменой (9.5), где , и формулами , . Получим

Вернемся теперь к переменной . Для этого обратимся к рисунку 2 и выразим . Тогда

3).В интеграле положим

(9.7)

и вычислим

Продифференцируем (9.7) и найдем . Тогда исходный интеграл примет вид .Решая его, получим функцию, зависящую от и тригонометрических функций аргумента .Чтобы вернуться к переменной , следует из (9.7) выразить тригонометрическую функцию

, (9.8)

откуда . Затем в прямоугольном треугольнике отметим острый угол (рис. 3), прилежащий к нему катет и гипотенузу . Тогда по теореме Пифагора противолежащий ему катет равен .

Затем необходимые значения тригонометрических функций аргумента выразим как соотношения известных длин катетов и гипотенузы в этом треугольнике. Приведем пример применения приема рационализации для интеграла третьего типа.

Пример 9.6. . Введем новую функцию

(9.9)

и воспользуемся формулами , . Получим:

Теперь из (9.9) выразим . Из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 3, видно, что . Тогда

III.Рационализацию интеграла вида

где означает рациональную функцию двух и более аргументов, осуществим с помощью замены

. (9.10)

Здесь показатель степени равен такому числу, которое делится нацело на , другими словами есть наименьшее общее кратное для чисел . Это позволит нам избавиться от радикалов. Продифференцируем равенство (9.10)

и найдем . Таким образом, все подынтегральное выражение будет сведено к рациональной функции одного аргумента . Ранее в примере 5.14 этот прием уже применялся. Приведем еще один пример.

Пример 9.7. . Сделаем замену , продифференцируем это равенство

и найдем . Получим . Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим её целую часть, поделив числитель на знаменатель.

Тогда .

Затем вернемся к старой переменной по формуле . Получим

Разные задачи.

Ниже приведены задачи, решение которых требует применения нескольких приемов интегрирования. Почти во всех этих задачах нужно сначала угадать выгодную замену переменной, которая привела бы в итоге к какой-нибудь стандартной формуле.

Пример 10.1.

. Сделаем замену переменной . Тогда

. Снова введем новую переменную . Тогда . Возвращаясь к старой переменной по формуле , получим

Пример 10.2.

Пример 10.3.

Пример 10.4. .

Пример 10.5. . Введем новую переменную и получим (см. пример 6.2. из раздела 6 интегрирование по частям). Тогда

Пример 10.6. . Введем новую переменную и найдем . Получим

Пример 10.7. . Сделаем замену переменной . Тогда . Получим

Пример 10.8.

Пример 10.9. . Введем новую переменную и найдем . Тогда

Пример 10.10. . Сделаем замену и найдем . Получим

. Представим правильную дробь как сумму простейших дробей:

Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тождественное равенство исходного и вновь полученного числителей:

Придадим переменной значение . Тогда , откуда . Затем при тождество примет вид: , откуда . Тогда

Пример 10.11. . Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим . Найдем и . Тогда

Пример 10.12. . Применим здесь формулу интегрирования по частям, полагая . Тогда . Отсюда . Выделим в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя на знаменатель.

Получим

Пример 10.13.

Здесь мы заметили, что .

Пример 10.14. . Введем новую переменную . Тогда . Получим . Воспользуемся формулами . Тогда

Пример 10.15. . Введем новую переменную . Найдем . Тогда , откуда . Таким образом . Получили интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9.

Пример 10.16. . Сделаем замену переменной . Тогда и . Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей:

Из тождественного равенства числителей найдем неизвестные буквенные коэффициенты.

При тождество принимает вид , откуда .

Отсюда

Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый в примере 5.8.

Пример 10.17. . Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь полученного

Положим в нем последовательно , а затем приравняем друг другу коэффициенты при . Тогда получим систему уравнений для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов:

Решая ее, найдем . Тогда

Вычислим отдельно . Сделаем замену . Найдем . Получим

. Тогда

Пример 10.18. . Сделаем замену и найдем . Получим . Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим из нее целую часть.

Тогда .

Последний интеграл взят в предыдущем примере 10.17. Воспользуемся этим результатом.

Затем вернемся к старой переменной .

Пример 10.19. . Сделаем замену переменной . При этом . Тогда

Пример 10.20. Вычислить .

Пусть .

При :

Рекомендуемая литература

1. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: «Наука», 1964.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Изд-во АСТ Астрель, 2006.

3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.

4. Неопределенный интеграл. Методические указания к самостоятельному выполнению задания для студентов всех специальностей. Л.: ЛИСИ, 1989.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-пресс, 2006.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: «Наука», 1985.

Оглавление

Введение3

1. Первообразная………………………………………………………….…..……3

2.Неопределенный интеграл……………………………………….………………4

3.Таблица неопределенных интегралов…………..………………….…………...6

4. Простейшие правила интегрирования…………………...……….…………11

5. Замена переменной в неопределенном интеграле…………..……….………17

6. Интегрирование по частям……….…………………………………………..20

7. Интегрирование дробно-рациональных функций………..….……….……..25

8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций………...36

9. Интегрирование некоторых иррациональных функций……..…..…………40

10.Разные задачи………...………….............................................................42

Рекомендуемая литература…………………………………………………51

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Составители: Вера Борисовна Смирнова

Лидия Евсеевна Морозова

Редактор

Корректор

Компьютерная верстка

Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 2000 экз. Заказ . «С» . Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5.

1 23

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: