Интегрирование дробно-рациональных функций.
Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) будем называть частное от деления двух многочленов. Общий вид рациональной дроби таков
,
где – многочлен степени , а – многочлен степени .
Если , то рациональная дробь называется правильной, если , то рациональная дробь называется неправильной. Из общей совокупности правильных дробей выделяются четыре специальных типа дробей, называемых простейшими. Простейшие дроби имеют вид
где A, B, D, a, p, q – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней ( ), т.е. не раскладывается на множители первой степени.
В целом классификацию рациональных дробей можно представить следующим образом.
Интегралы от рациональных дробей всегда являются берущимися. Покажем это, двигаясь по приведённой здесь схеме, поднимаясь с нижнего уровня на верхний уровень.
Интегрирование простейших дробей.
1. Интеграл типа (I) берется с использованием формулы (3.3) таблицы 1 и линейной замены.
.
2. Интеграл типа (II) берется с использованием формулы (3.2) таблицы 1 и линейной замены.
. ( Здесь .)
3. Рассмотрим интеграл типа (III) , где .
Чтобы вычислить интеграл , найдём сначала производную знаменателя подынтегральной функции:
.
Далее представим числитель как сумму двух слагаемых:
,
т.е. “выделим” в числителе производную знаменателя. Теперь можно представить как сумму двух слагаемых:
. (7.1)
Вычислим каждый из интегралов, стоящих в правой части (7.1), отдельно:
· ,
·
.
Таким образом,
. (7.2)
Заметим, что всегда можно представить как сумму квадратов в силу того, что .
Формула (7.2) сложна для запоминания. Как правило, ею не пользуются, а непосредственно применяют к конкретному интегралу изложенный здесь метод.
Приведём примеры.
Пример 7.1. .
Пример 7.2. . Найдем производную знаменателя . Выделим эту производную в числителе . Тогда
.
Пример 7.3. . Воспользуемся формулами
. Тогда
4. Для интеграла типа (IV) , где , , непосредственное интегрирование является столь громоздким, что следует пользоваться справочником.
Интегрирование правильных дробей общего вида.
Рассмотрим правильную дробь , которая не является простейшей дробью. Чтобы проинтегрировать такую функцию, её нужно представить в виде суммы простейших дробей.
Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей осуществляется по следующему правилу.
1) Знаменатель следует разложить на множители вида
и ,
где , а . Заметим, что при условии на множители разложить нельзя.
2) Следует построить “общий вид” представления с неопределёнными пока коэффициентами. При этом каждому множителю должна соответствовать сумма дробей
, (7.3)
а каждому множителю должна соответствовать сумма дробей
, (7.4)
где коэффициенты пока неизвестны и представлены буквами. В суммах (7.3) и (7.4) должны обязательно присутствовать все перечисленные выше слагаемые ( слагаемых в сумме (7.3) и слагаемых в (7.4)) . Общий вид представления содержит в себе все суммы (7.3) и (7.4).
3) Следует определить коэффициенты представления, полученного в пункте 2, исходя из тождественного равенства правильной дроби и суммы простейших дробей, полученной в пункте 2.
Покажем на конкретных примерах, как пользоваться данным правилом.
Пример 7.4. .
Применим сформулированное выше правило.
1) Разложим знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла, на множители:
.
2) Построим для дроби, стоящей под знаком интеграла, представление в виде суммы простейших дробей с неизвестными пока коэффициентами
. (7.5)
Множитель имеет степень 1, и ему соответствует в сумме одно слагаемое, множитель имеет степень 2, и ему в сумме соответствуют два слагаемых.
3) Приведём правую часть равенства (7.5) к общему знаменателю. Получим
. (7.6)
Равенство (7.6) должно выполняться при всех значениях . Поскольку знаменатели дробей, стоящих в левой и правой частях (7.6), одинаковы, числители этих дробей должны быть тождественно равными. Таким образом,
(7.7)
при всех значениях . Чтобы определить и , подставим в (7.7) три каких-либо значения и получим систему трёх уравнений относительно неизвестных и . Если представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей составлено правильно, то эта система имеет единственное решение. Значения обычно выбирают так, чтобы расчеты были как можно более простыми. В нашем случае выгодно выбрать и . Последовательно подставляя эти значения в тождество (7.7), получим систему
(7.8)
Система (7.8) имеет решение:
; ; .
Замечание. Если коэффициенты , найдены верно, то слева и справа в (7.7) стоят одинаковые многочлены. Следовательно, их коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны. Установим это:
Таким образом, коэффициенты найдены верно. Итак, мы получили тождество
.
Тогда
.
Пример 7.5. .
Представим дробь, стоящую под знаком интеграла, в виде суммы простейших дробей. Так как оба множителя, стоящих в знаменателе, имеют степень 1, представление будет иметь вид
. (7.9)
Заметим, что если в знаменателе стоит квадратный трёхчлен , то в числителе обязательно должен стоять многочлен первой степени .
Приводим правую часть (7.9) к общему знаменателю. Тогда
,
откуда следует
. (7.10)
Нужно определить три коэффициента . Используем удобные значения: . Подставим их последовательно в (7.10). Получим
. (7.11)
Система (7.11) имеет решение:
; ; .
Проверим полученный результат.
Получено тождество
.
Следовательно,
.
Отдельно вычислим , используя формулы
.
.
Итак,
.
Пример 7.6. .
Разлагаем знаменатель на множители:
.
Выписываем общий вид представления дроби в виде суммы простейших дробей и сразу же приводим сумму дробей к общему знаменателю:
.
Составляем равенство числителей двух равных дробей с одинаковыми знаменателями:
. (7.12)
Выбираем удобные значения : , и составляем систему уравнений для определения четырёх коэффициентов: .
. (7.13)
Решаем систему (7.13):
, .
Проверим полученные значения.
Таким образом,
.
Интегрирование неправильных дробей.
Чтобы проинтегрировать неправильную дробь , где , её следует представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого сначала следует представить в виде
, (7.14)
где степень многочлена меньше, чем степень многочлена . Представление (7.14) равносильно делению многочлена на многочлен с остатком. В формуле (7.14) многочлен является частным, а многочлен является остатком. Затем равенство (7.14) следует почленно поделить на . Мы получим
.
Здесь – правильная дробь.
Представление (7.14) иногда легко угадать (если и имеют достаточно простой вид), но, как правило, оно получается в результате деления на “уголком”.
Приведём примеры.
Пример 7.7.
.
Пример 7.8.
.
Пример 7.9. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Разделим числитель этой дроби на знаменатель с остатком.
.
Вычислим отдельно
.
Окончательно,
.
Пример 7.10. . Поделим числитель на знаменатель с остатком.
.
Вычислим отдельно . Разложим правильную дробь на простейшие дроби.
.
.
Подставим в полученное тождество последовательно значения переменной . Тогда
Получим .
Окончательно,
.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|