Сделай Сам Свою Работу на 5

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике.





Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного

Учреждения высшего профессионального образования «Санкт-

Петербургский государственный морской технический

Университет» в г. Северодвинске

 

 

Курзанова Е.В.

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки

 

Северодвинск


УДК 531

 

 

Теоретическая механика. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил»/Сост. Е.В.Курзанова

Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2008 - с.

 

 

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».

Методические указания по теоретической механике, раздел «Динамика», разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил». Указания содержат план решения расчетно-графической работы, расчетные схемы, варианты заданий, пример решения.



 

 

Рецензенты:

доцент кафедры № 3, к.т.н. Д.В.Кузьмин,

ст. преподаватель кафедры № 3 Л.А.Ковалев.

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.

 

 

© Севмашвтуз, 2008


СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие…………………………………………………………………….4

 

1. Задание……………………..………………………………………………….5

 

2. План выполнения работы……………………………………………….…5

 

3. Расчетные схемы и варианты задания…………………………..……….7

 

4. Примеры выполнения работы……………………………………………..11

 

5. Вопросы для защиты расчетно-графической работы…….…………….22

 

6. Список литературы……………………………………………………….…23


ПРЕДИСЛОВИЕ

 

 

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки содержат план выполнения работы, расчетные схемы и варианты заданий, примеры решения, вопросы для защиты.



Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении работы и проверка качества знаний при защите работы.


Задание.

Необходимо найти неизвестные с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил.

 

План выполнения работы.

2.1. Записать исходные данные (выбрать согласно порядковому номеру в журнале).

 

2.2. Вычертить расчетную схему. Формой и размерами движущегося тела можно пренебречь, приняв его за материальную точку.

 

2.3. Изобразить действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести ; силу , если она дана; силы реакции связей (сила - нормальная реакция опорной поверхности, сила трения , направленная в сторону, противоположную движению).

 

2.4. Разделить задачу на две части:

· движение точки в системе координат , время движения по участку обозначается ;

· движение точки в системе координат , время движения в данной системе обозначается Т (движение из точки В в точку С).

 

2.5. Записать второй основной закон Ньютона в векторной форме: или

Затем спроецировать на координатные оси.

В осях y1Ax1 уравнений будет два

 

 

Произведение массы на вторую производную от расстояния по времени (ускорение) равно сумме проекций всех действующих сил на соответствующую координатную ось.

Из уравнения (2) следует найти N – нормальную реакцию опорной поверхности. Так как , это значит, что сумма проекций всех действующих сил на ось Ay1 равна 0 (условие равновесия).



В случае движения по горизонтальной поверхности получится .

В случае движения по наклонной поверхности получится , где - угол наклона поверхности.

Исходных уравнений будет четыре:

 

(1)

(2)

(3) на ось Вх

(4) на ось Ву

 

2.6. Каждое из исходных уравнений необходимо разделить на массу (левую и правую часть). Дифференциальные уравнения необходимо дополнить начальными условиями и свести задачу динамики к решению математической задачи (к задаче Коши).

 

2.7. а) Рассмотрим движение точки на участке АВ. Записываем дифференциальные уравнения (1) и (2) и начальные условия. Получаем математическую задачу. Интегрируем дифференциальные уравнения и определяем константы интегрирования. Получаем выражение для скорости и расстояние

б) Подставляем и получаем 2 алгебраических уравнения. Эти уравнения позволяют найти две неизвестные.

в) Рассматриваем движение на участке ВС. Записываем дифференциальные уравнения (3) и (4) и начальные условия, интегрируем и получаем выражения для скорости и ; и расстояния и .

г) Подставляем и получаем четыре алгебраических уравнения для нахождения четырех неизвестных.

д) Постоянные интегрирования находим с помощью начальных условий. Все нечетные постоянные интегрирования будут равны проекциям начальных скоростей на соответствующие координатные оси:

- проекция скорости на ось Ах1

- проекция скорости на ось Вх

- проекция скорости на ось Ву

 

В случае совпадения оси Ах1 с осью Вх

Все четные постоянные интегрирования будут соответствовать началу координат и и будут равны 0

 

2.8. После определения постоянных интегрирования и получения:

· уравнения, связывающего скорость в со скоростью в ,

· уравнения для определения длины участка ,

· уравнения для определения ширины участка ,

· уравнения для определения высоты участка

можно приступить к вычислению своего варианта задания и к нахождению неизвестных.

 

 

3. Расчетные схемы и варианты задания.

 

Варианты 1-5 (Рис. 1, схема 1).

 

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение, в течение сек. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точки С плоскости BD, наклонённой под углом к горизонту, находясь в воздухе T сек.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивлением воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: ; ; f=0,2; l=10 м; .

Определить и h.

Вариант 2. Дано: ; м/сек; f=0,2; h=4 м; .

Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: ; ,5 м/сек; f¹0; l=8 м; d=10 м; .

Определить и .

Вариант 4. Дано: ; с; f=0; l=9.8 м; .

Определить и Т.

Вариант 5. Дано: ; ; cек; l=9.8 м; .

Определить f и .

 

Варианты 6-10 (Рис.1, схема 2).

 

Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклонённого под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется сек; в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т сек лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано ; сек; f=0,1; h=40 м; .

Определить l и .

Вариант 7. Дано: ; м/сек; f=0,1; l=5 м; .

Определить и Т.

Вариант 8. Дано: м/сек; f=0; сек; м/сек; .

Определить и d.

Вариант 9. Дано: ; сек; f=0,1; h=30 м; .

Определить и .

Вариант 10. Дано: ; м/сек; d=50 м; f=0; .

Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11-15 (Рис. 1, схема 3).

 

Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается сек по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всём участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретаем скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движения.

Вариант 11. Дано: ; Р¹0; l=40 м; ; м/сек; d=3 м.

Определить и h.

Вариант 12. Дано: ; Р=0; м/сек; h=1.5 м; l=40 м.

Определить и d.

Вариант 13. Дано: ; m=400 кг; ; сек; d=3 м; h=1,5 м.

Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: ; m=400 кг; Р=2,2 кН; ; d=5; l=40 м.

Определить и .

Вариант 15. Дано: ; ; Р=2 кН; h=2 м; l=50 м; d=4 м.

Определить Т и m.

 

Варианты 16-20 (Рис. 1, схема 4).

 

Камень скользит в течение сек по участку АВ откоса, составляющего угол с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через Т сек ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: ; м/сек; f=0,2; l=3 м; d=2,5 м.

Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: ; ; h=6 м; сек; l=6 м.

Определить d и f.

Вариант 18. Дано: ; ; f=0,1; l=2 м; d=3 м.

Определить h и .

Вариант 19. Дано: ; м/сек; f≠0; l=3 м; d=2м; сек.

Определить и h.

Вариант 20. Дано: ; ; f=0,3; h=4 м; d=2 м.

Определить l и .

 

Варианты 21-25 (Рис. 1, схема 5).

 

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость .Коэффициент трения скольжения равен f. Через сек тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при \том оно находиться в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: ; м/сек; f=0,1; h=10 м; сек.

Определить и d.

Вариант 22. Дано: ; ; l=10 м; сек.

Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: ; f=0; l=9,81 м; h=20 м; сек.

Определить и Т.

Вариант 24. Дано: ; ; f=0,2; l=10 м; d=12 м.

Определить и h.

Вариант 25. Дано: ; ; f=0,2; l=6 м; h=4,5 м.

Определить и .

 

Варианты 26-30 (Рис. 1, схема 6).

 

Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длинной l в течение сек. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т сек. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: м/сек; f=0,2; l=8 м; h=20 м.

Определить d и .

Вариант 27. Дано: м/сек; f=0,1; сек; d=2 м.

Определить и h.

Вариант 28. Дано: м/сек; f=0,3; l=3 м; h=5 м.

Определить и Т.

Вариант 29. Дано: м/сек; м/сек; l=2,5 м; h=20 м.

Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f=0,25; l=4 м; h=5 м d=3 м.

Определить и .

Рис. 1

 

4. Примеры выполнения задания.

 

4.1. Пример 1.

Имея в точке А скорость vA мотоцикл поднимается τ секунд по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость vВ и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т сек и приземляясь в точке С со скоростью vС. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.

Рис. 2

 

Дано: α=30°; vA=0; Р=2 кН; d=4 м; h=1,5 м; l=40 м

Определить: Т и m .

 

Решение.

Изображаем действующие на материальную точку активные силы – силу тяжести , силу ; силы реакции связей – сила - нормальная реакция опорной поверхности. , т.к. задано в условии не учитывать сил сопротивления движению.

Рассмотрим движение на участке АВ. Система координат y1Аx1, время движения в данной системе – τ (с).

Записываем второй закон Ньютона в векторной форме: .

Проецируем на координатную ось Ах1

Разделим левую и правую часть на массу, получим дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия

Начальные условия: и

При t ;

по условию задачи

или

Рассмотрим движение на участке ВС. Система координат yBx; время движения Т.

Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

Проецируем на координатную ось Вх

Начальные условия

Начальные условия

Проецируем на координатную ось Ву

Начальные условия

Начальные условия

 

4.2. Пример 2.

 

Дано: f=0,25; l=4м; d=3м; h=5м

Определить: и

 

Рис. 3

 

Указываем действующие силы:

на участке АВ на материальную точку действуют:

- активная сила ,

- реакции связей: - нормальная реакция опорной поверхности,

- сила трения, направленная в сторону,

противоположную движению.

 

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ах1:

(1)

где f – коэффициент трения скольжения,

N – нормальная реакция опорной поверхности определяется из условия равновесия (движения вдоль оси Ау1 нет).

 

Значит сумма проекций всех действующих сил на ось Ау1 равна 0.

Ау1:

подставим в уравнение (1)

После сокращения на массу m получим исходное уравнение для интегрирования:

После интегрирования получим:

Определим С1 исходя из начальных условий:

Таким образом

Для определения значения скорости vB подставляем время - время движения по участку АВ из в :

(1а)

Интегрируя второй раз, получим:

С2 определяем исходя из начальных условий: расстояние х1 для момента времени t=0 будет равно 0

Для определения длины участка АВ-l подставим значение

(1б)

 

В уравнениях (1а) и (1б) неизвестных три: и .

Количество неизвестных превышает количество уравнений. Продолжаем решение для нахождения из второй части задачи.

Во второй части задачи движение происходит вдоль осей Вх и Ву.

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Вх:

- не действуют никакие силы

интегрируем первый раз

(2а)

интегрируем второй раз

При значении t=T – время движения по участку ВС

(2б)

 

Записываем второй закон Ньютона в дифференциальной форме для оси Ву:

Интегрируем первый раз, получим

Определим С5 :

Интегрируя второй раз, получим

Определим С6 :

 

При значении

 

Вычислим значение

Принимаем

 

Из уравнения (2б) находим

 

При найденном значении решаем уравнения (1а) и (1б)

(1а)

(1б)

подставим в (1б)

 

Определяем значение времени движения по участку АВ, решая квадратное уравнение относительно через дискриминант. Учитываем только положительное значение .

 

Определяем

 

Ответ: ;

 

 

4.2. Пример 2.

 

В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость равной нулю, определить минимальную ширину полки b и скорость , с которой камень падает на неё. По участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину l, камень движется сек.

При решении задачи считать трения скольжения f камня на участке АВ постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: =0; ; l=4 м; сек; f≠0; h=5 м; .

Определить b и .

Решение.

Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем (см. Рис. 4) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

 

;

 

.

 

Сила трения

 

,

 

где

 

.

 

Таким образом,

 

 

или

 

.

 

Интегрируя дифференциальное уравнения дважды, получаем:

 

,

 

.

 

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t=0 x10=0 и . Составив уравнение, полученное при интегрировании, для t=0

 

,

 

,

 

Найдём постоянные:

 

, .

 

Тогда

 

;

 

.

 

Для момента , когда камень покидает участок,

 

; ,

 

т.е.

 

,

 

,

 

откуда

 

,

 

т.е.

 

м/сек.

 

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:

 

,

 

.

 

Интегрируем первое из этих уравнений:

 

,

 

.

 

Постоянные интегрирования С3 и С4 определим, используя начальные условия задачи: при t=0 x0=0, .

С помощью уравнений, полученных при интегрировании и составленных для t=0,

 

,

 

,

 

найдём, что

 

; .

 

Тогда

 

,

 

.

 

Интегрируя уравнение , имеем:

 

,

 

.

 

Начальные условия: при t=0 y0=0, . Из уравнений, полученных интегрированием и составленных для t=0,

 

,

 

,

 

найдём, что

 

и .

 

Окончательно

 

,

 

.

 

Таким образом, уравнения движения камня имеют вид

 

;

.

 

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

 

.

 

В момент падения

м, а ,

 

т.е.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.