Сделай Сам Свою Работу на 5

С помощью теорем о достаточном условии экстремума определить характер экстремума и вычислить его значение.





Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

 

Определение: График функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале; выпуклым вверх (выпуклым) на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка, где меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема:

Если функция y = f(x) во всех точках интервала имеет отрицательную производную, т. е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же - график выпуклый вниз.

Доказательство. Пусть . Возьмём на графике функции произвольную точку M с абсциссой и проведём через M касательную .

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке y кривой y = f(x) с ординатой yкас её касательной. Уравнение касательной, как известно, есть , т.е. . Тогда . По теореме Лагранжа, , где с лежит между x0 и x. Поэтому , т. е. .

Разность снова преобразуем по формуле Лагранжа:

, где с1 лежит между x0 и с. Таким образом, получаем .

Исследуем это равенство:

если , то и . Следовательно, , т. е. :



если , то и . Следовательно, , т. е. :

Итак, доказано, что во всех точках интервала ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функций выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при график выпуклый вниз. Ч. т. д.

 

Теорема 9.6. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f′′(x) при переходе через точку х0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то эта точка есть точка перегиба.

 

Асимптоты графика функции.

 

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

1. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

y=f(x), если .

2. Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b,

где , конечные пределы.

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y=f(x) наклонной асимптоты не имеет.

Если k=0, то кривая имеет горизонтальную асимптоту y=b.



у


0
Например, на рисунке кривая

имеет вертикальную асимптоту х = - 1.

x
-1

Общая схема исследования функции и построения графика.

Найти область определения функции.

Определить тип функции (четность, нечетность, периодичность ).

Найти точки пересечения с осями координат и интервалы, на которых функция сохраняет знак.

4. Найти асимптоты графика функции:

А) вертикальные; б) наклонные.

Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и

Убывания функции.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример № 1:

Построить график функции

Областью определения функции является множество всех

действительных чисел, кроме х=1 ( в этом случае знаменатель

Функции равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

, следовательно функция

Не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

3. Так как уравнение х2+1=0 не имеет действительных корней то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).

Определим интервалы знакопостоянства функции:

_ +

|

Y(x) ниже оси Ох выше оси Ох х


Найдем асимптоты графика функции.

а). Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1:


Следовательно прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:


Из этого вытекает, что график функции имеет наклонную асимптоту у=х+1.

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:




y'(x)=0 в точках

Исследуем знак производной: y' +   +

х

у 1

Получаем, что функция

возрастает на промежутках:

убывает на промежутках:


Точки экстремума:

у’

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:


Так как у’’(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.

Исследуем знак второй производной:

у"   + +

1 х

 


Следовательно

на интервале (-∞; 1) график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале (1; +∞) – выпуклостью вниз (вогнутый).

y

 


х

Пример № 2: Исследовать функцию и построить ее график: .

1) при х , так как D=1-4=-3<0.

;

2) найдем точки пересечения графика с осями координат:

x=0, y=1;

y=0, x=- 0,5;

3) - функция общего вида;

4) функция непрерывна на , точек разрыва нет;

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.