Вычислить пределы функций с помощью правила Лопиталя.

1) = = = = = 2

2) = = = = = 0

3) = = = = ¥

Лекция № 9

Исследование функции и построение графика

Возрастание и убывание функции.

Опр.1 Функция у=f(x) называется убывающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует меньшее значение функции. Т.е. если х1 , х 2 (а;b), х1 >x2 , то f(x1)<f(x2).   Опр.2 Функция у=f(x) называется возрастающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее значение функции. Т.е. если х1 , х 2 (а;b), х1 >x2 , то f(x1)>f(x2).   Из этих определений вытекает, что для возрастающей функции приращение функции и приращение аргумента имеют один и тот же знак, т.е. , а для убывающей .

Таким образом, возрастание и убывание функции может быть охарактеризовано знаком ее производной, что устанавливает справедливость следующих теорем.

Интервалы монотонности функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности . Установим необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема (необходимые условия монотонности):

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то ,

Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на интервале . Возьмём произвольные точки x и на интервале и рассмотрим отношение . Функция f(x) возрастает, поэтому если , то и если , то и . В обоих случаях , т. к. числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке x , которая является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

. Ч.т.д.

Теорема (достаточные условия монотонности):

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Доказательство. Пусть . Возьмём точки x₁ и x₂ на интервале , причём . Применим к отрезку теорему Лагранжа: , где . По условию . Следовательно, или , т. е. функция f(x) возрастает на интервале . Ч.т.д.

Экстремумы функции

Точки, в которых производная равна нулю, или не существует, называются критическими.

Теорема ( необходимое условие экстремума функции):

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке равна нулю f´(x₀)=0.

Замечание: Геометрически этот факт означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции y=f(x), касательная к ее графику параллельна оси ОХ.

Замечание: Обратная теорема неверна, т.е. если f´(x₀)=0, то это не значит, что х₀ -точка экстремума. Например, для функции y=x³ ее производная y´=3x²равна нулю при х=0, но х=0 не является точкой экстремума, а является точкой перегиба

Теорема ( достаточное условие экстремума функции)

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ и при переходе через нее ( слева на право) производная f´(x) меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума функции (если же происходит изменение знака с минуса на плюс, то точка х₀- точка минимума функции).

Теорема (достаточное условие экстремума с помощью первой и второй производной)

Если в точке х₀ первая производная функции y=f(x) равна нулю (f´(x₀)=0), а вторая производная в точке х₀ существует и отлична от нуля, то при f´´( х₀)<0 в точке х₀ функция имеет максимум (а при f´´( х₀)>0 0 в точке х₀ функция имеет минимум).

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для исследования функции на экстремум, необходимо:

1. Найти критические точки функции y=f(x)

2. Исследовать знак производной f´(x) слева и справа от критических точек ( или исследовать знак второй производной в этих точках)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: