Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение: Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .
При этом:
1) если А1=А2 , и f(x) , то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
2) если , то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
Пример1:
Исследовать функцию на непрерывность в точке х=2.
Решение:
В точке х=2 функция не определена.
Предел слева:
Предел справа:
В точке х=2 функция имеет разрыв второго рода.
Пример2:
Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.
Решение:
Функция f(x)определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3.
Очевидно, что , следовательно , . Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2
Основные теоремы о непрерывных функциях
Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная(для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)
Теорема 2: Если функция непрерывна в точке , а функция y=f(u) непрерывна в точке Тогда сложная функция
непрерывна в точке .
Теорема 3: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезкеr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> оси ОХ, то обратная ей функция также монотонна и непрерывна на соответствующем отрезке оси ОУ.
Замечание 1: Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях переменной х, при которых они определены.
Замечание 2: Функция, полученная из элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) непрерывна при тех значениях аргумента, при которых она определена.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1(Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке функция принимает свое наибольшее значение М в точке , а наименьшее значение m в точке . Для любого значения имеет место неравенство: .
Теорема 2( Больцано- Коши): Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между А и В.
Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль : f( c)=0.
Данное утверждение лежит в основе метода «половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x)=0.
Метод половинного деления:
Для решения уравнения f(x)=0 с заданной точностью , необходимо :
1. Подобрать отрезок , такой, что на этом отрезке функция непрерывна и f(a) f(b)<0.
2. Вычислить
3. Если f(x)=0, то х- корень уравнения
4. Если , то если f(a) , то b=x , иначе a=x
5. Если , то х найден, иначе идти на пункт 2.
Лекция № 6
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Понятие производной
Задача, приводящая к понятию производной:
Пусть материальная точка движется по закону . Пусть - путь, пройденный точкой к моменту времени . За время материальная точка прошла путь . Тогда средняя скорость точки за время равна . При получим мгновенную скорость точки в момент , т.е. .
Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу приращение , тогда функция получит приращение .
Отношение показывает среднюю скорость изменения функции относительно аргумента на промежутке .
Определение: Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то этот предел называется производной функции в точке и обозначается
Для обозначения производной в точке применяются следующие обозначения:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|