Решение задач на интегрирование функций в среде Mathcad.

Постановка задачи.

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида

(1.1)

где F(x) данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция F(x) задана формулой, то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

(1.2)

Также для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла (1.1) существует много численных методов, из которых рассмотрим три основных:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=F(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1).

Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Рис. 1.1.

Численные методы, применяемые при вычислении интеграла

Метод прямоугольников.

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2×h, ... ,

x_n-1=a+(n-1)×h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции F(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n (рис. 1.2). Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Формула (1.3) называется формулой левых прямоугольников, (1.4) - формулой правых прямоугольников, (1.5) - формулой средних прямоугольников.

Метод трапеций.

Формула трапеций:

(1.6)

Формула (1.6) означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 1.3); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Рис 1.3.

Метод Симпсона.

Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на 2×n равных частей длины . Обозначим точки разбиения x₀=a; x₁=x₀+h, ... , x_i=x₀+i×h, ..., x_2n=b. Значения функции f в точках x_i обозначим y_i, т.е. y_i=f(x_i). Тогда согласно методу Симпсона

(1.7)

Каждая из формул (1.3) – (1.7), как правило, дает результат тем точнее, чем больше n. Из всех приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона, наименее точной - формулы прямоугольников.

Особенности интегрирования в MATHCAD

Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7> (или символа "&"). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями, в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести минус бесконечность, добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором — в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора Mathcad (листинг 1).

Листинг .1. Численное и символьное вычисление определенного интеграла

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Решение задач на интегрирование функций в среде Mathcad.

1.Вычислить неопределенные интегралы тремя способами:

по правилу 3: 1) ; 2) ; 3) ;

по правилу 5: 4) ; 5) 6) ;

по правилу 6 проинтегрируйте функции: 7) ; 8) .

2.По правилу 3 найти значение определенного интеграла .

3.Найти интеграл функции , заданной на интервале различными способами:

а) методами Mathcad; б) методом прямоугольников;

в) методом трапеций; г) методом парабол.

Указания:

- присвоить значения пределам интегрирования и шагу разбиения:

а:=0, b:=1, n:=20, h:= (b - a)/n

- . Далее найти значение I средствами Mathcad.

- присвоить переменной х следующее изменение значений: х:=a,a+h..b.

- вывести на экран значения функции F(x).

- ввести формулы прямоугольников: - левая и правая формулы прямоугольников.

- вычислить значение интеграла по формуле трапеций: .

- вычислить интеграл по формуле парабол: .

оценить точность вычислений. Для этого достаточно рассмотреть абсолютную разность между точным значением интеграла (I) и приближенным (I1, I2, I3, I4).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: