Момент инерции площади плоской фигуры

Моментом инерции I материальной точки М с массой m, относительно некоторой точки 0 называется произведение массы m на квадрат ее расстояния r от точки 0:

Момент инерции системы материальных точек относительно точки 0 есть сумма моментов инерции отдельных точек системы: .

Найдем момент инерции материальной плоской фигуры s. Пусть область s расположена в плоскости OXY и поверхностная плотность всюду равна единице .

Разобъем область s на элементарные площадки на каждой площадке возьмем точку с координатами .

Элементарным моментом инерции площадки Ds_i будет произведение массы площадки Ds_i на квадрат расстояния

т.е.

Составим сумму таких моментов: , которая представляет собой интегральную сумму для функции ¦(x,y) = x²+y², по области s.

Пусть диаметр каждой элементарной площадки Ds_i ®0, тогда предел этой интегральной суммы будет двойной интеграл .

Следовательно, момент инерции области s относительно начала координат равен

где s - область, совпадающая с данной плоской фигурой.

Интегралы

называются соответственно моментами инерции области s относительно осей OX и OY.

Замечание

Если поверхностная плотность не равна единице, а есть функция от x и y,

т.е. m=m(x,y), то момент инерции плоской фигуры относительно начала координат

Координаты центра тяжести плоской фигуры

Координаты центра тяжести системы материальных точек с массами определяются по формулам:

(1)

Найдем координаты центра тяжести плоской фигуры s.

Разобьем фигуру s на n частей Ds₁, Ds₂¼Ds_n .

Пусть поверхностная плотность mº1, тогда масса Ds_i будет равна ее площади.

Считаем, что масса элементарной площадки Ds_iсосредоточена в точке тогда фигуру s рассмотрим как систему материальных точек. По формулам (1) координаты центра тяжести этой фигуры будут приближенно определяться равенствами:

Пусть Ds_i®0, тогда предел этих интегральных сумм будет равен двойному интегралу, т.е.

Примечание

Если фигура имеет любую переменную во всех точках поверхностную плотность: m=m(x,y), то

Выражения

называются статическими моментами плоской фигуры s относительно осей OY и OX.

Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

Примеры

1. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями :

2.Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра (радиусы r₁ и r₂) (r₂ >r₁)

Если δ(М) - поверхностная плотность в точке М(х, у) плоской фигуры (или материальной пластинки) которая занимает обдасть D, то ее масса вычисляется по формуле

В данном случае δ(М) = к/ρ , где к – коэффициент пропорциональности, ρ – расстояние точки М(х, у) от начала координат. Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо через r₁ и r₂ (r₂ >r₁). Разместим полюс полярной системы кординат в центре кольца, и запишем уравнения окружностей

ρ = r₁ , ρ = r₂

Массу всего кольца найдем по приведенной формуле, преобразовав ее к полярной системе координат

3. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кардио идой

Разместим полюс в начале координат прямоугольной декартовой системы координат и направим полярную ось вдоль ОХ. Из-за того, что фигура симметрична относительно ОХ, у_с = 0. Найдем х_с.

ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ”

Вариант 1

1. В двойном интеграле расставить пределы интегрирования по области D, ограниченной линиями (двумя способами).

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где D:

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линей , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .

11. Найти центр тяжести однородной фигуры D: (полуовал).

12. Найти центр тяжести фигуры , если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

13. Вычислить момент инерции круга радиусом R относительно касательной.

14. Вычислить момент инерции площади фигуры относительно полюса (0,0).

Вариант 2

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти S области D, фигуры изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу кругового кольца ( <R),ограниченной указанными линиями, если в каждой ее точке обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.

11. Вычислить координаты центра тяжести фигуры D, ограниченной кардиоидой

12. Найти координаты центра тяжести фигуры

если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

13. Вычислить момент площади эллипса относительно оси OY.

14. Вычислить момент площади прямоугольника, ограниченного прямыми относительно начала координат (0,0).

Вариант 3

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Наитй массу пластинки, ограничекнной линией если плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до начала координат.

11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой и прямой OA, проходящей через точки (0,0) и синусоиды.

12. Найти центр тяжести круговой пластинки если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорционально расстоянию этой точки до точки А(0;0).

13. Найти момент инерции однородного треугольника D: y = 5, y = x+1,

y =2x+7 относительно оси OX.

14. Найти момент инерции круга радиусом R относительно точки на окружности (0,0).

Вариант 4

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

7. где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Наитй массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами OB = a; OA = b, если в каждой ее точке равна расстоянию от катете OA.

11. Найти центр тяжести однородного кругового сектора с центральным углом 2a, радиусом R.

12. Найти центр тяжести фигуры D: и если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорциональна расстоянию ее до оси OY.

13. Вычислить момент инерции треугольника D: относительно оси OX.

14. Вычислить момент инерции эллипса относительно начала координат (0,0).

Вариант 5

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

D: = 4х; у =х, х = о.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок).

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу фигуры, ограниченной линией если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Найти центр тяжести однородной фигуры – кругового сегмента, соответствующего центральному углу a, радиус круга R.

12. Найти центр тяжести фигуры D: если в каждой ее точке равна расстоянию ее до оси OX.

13. Вычислить момент инерции фигуры D: относительно оси OX.

14. Найти момент инерции фигуры относительно полюса (0,0).

Вариант 6

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле.

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболами

12. Найти координаты центра тяжести фигуры если поверхностная плоскость в каждой ее точке равна xy.

13. Найти момент инерции фигуры относительно оси OY.

14. Вычислить момент инерции фигуры относительно полюса .

Вариант 7

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Определить центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной кривыми:

12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плоскость в каждой ее точке равна .

13. Найти момент инерции фигуры относительно оси OY.

14. Вычислить момент инерции фигуры относительно полюса (0,0).

Вариант 8

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

(меньший из сегментов).

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке (I-я четверть)

11. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривыми и и расположенной в I-й четверти.

12. Найти координаты центра тяжести фигуры если плотность в каждой ее точке пропорциональна расстоянию ее до точки A(0,0).

13. Найти момент инерции равнобедренного треугольника относительно его высоты. Основание треугольника a см, высота h см.

14. Найти момент инерции фигуры, ограниченной линией относительно полюса (0,0).

Вариант 9

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной окружностью эллипсом и лежащей в I-й четверти.

12. Найти центр тяжести фигуры если плотность в каждой ее точке равна

13. Найти момент инерции фигуры относительно полярной оси.

14. Найти момент инерции фигуры относительно O (0,0).

Вариант 10

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .

11. Найти центр тяжести однородной пластины, ограниченной линиями

12. Найти центр тяжести фигуры , если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

13. Найти момент инерции равнобедренной трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Размры: большее основание a см, b см, высота h см.

14. Найти момент инерции кругового кольца диаметром d и D

относительно его центра.

Вариант 11

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

12. Найти центр тяжести фигуры если в каждой ее точке.

13. Найти момент инерции эллиптического кольца, образованного двумя эллипсами, с общим центром и совпадающими осями (концентрические эллипсы). Оси внешнего эллипса a см, b см, а внутреннего a₁ см и b₁ см.

14. Найти момент инерции однородного круга радиусом R относительно его центра.

Вариант 12

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке

11. Найти центр тяжести однородной тонкой фигуры, ограниченной линиями

12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

13. Найти момент инерции однородного сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси относительно оси OX

14. Вычислить полярный моменте инерции однородной фигуры т.е. относительно начала координат (0,0).

Вариант 13

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где I квадрант

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.

10. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линией , если поверхностная плоскость в каждой ее точке .

11. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осями координат и линиями

12. Найти центр тяжести фигуры если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

13. Найти момент инерции фигуры D: относительно оси OY.

14. Найти момент инерции фигуры относительно точки O (0,0).

Вариант 14

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить где

4. Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями.

5. Найти площадь фигуры D, изображенной на рисунке в п. 1.

6. Расставить пределы интегрирования, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле по области D.

7. Вычислить двойной интеграл по области D, перейдя к полярным координатам в двойном интеграле

где

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1 2 3 456

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: