Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат j,r задана область s такая, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области пересекает границу области s не более чем в двух точках.
Пусть область s ограничена кривыми
Ф1(j)= r, Ф2( j)=r
и лучами j=a, j=b, Ф2>Ф1,b>a
Пусть в области задана непрерывная функция Z=F(j,r).
Разобьем область s на части Ds1,Ds2¼Dsn .
Составим интегральную сумму:
Из теоремы существования двойного интеграла следует, что при l®0 предел интегральной суммы равен по определению двойному интегралу от функции F(j,r) по области s
Вычислим этот двойной интеграл; так как предел этой суммы не зависит от способа разбиения области s на части Dsк, то разобьем область s с помощью лучей:
j=j0, j=j1, ¼j=jn (j0=a, jn=b, j0<j1<¼<jn)
и концентрических окружностей
r=r0, r=r1,¼r=rm
r0 равно наименьшему значению Ф1(j),
причем rm равно наибольшему Ф2 (j)
Пусть Dsik- область ограниченная линиями r=ri-1, r=ri, j=jk-1,j=jk
Интегральная сумма:
где Pik – любая точка области Dsik
(SS означает, что вначале мы суммируем по i, считая k=const т.е. отбираем все слагаемые, соответствующие областям, заключенным между двумя соседними лучами, а потом собираем все суммы по k)
Площадь Dsik равна разности площадей двух секторов:
или
где ri<ri*<ri+Dri . Таким образом интегральная сумма имеет вид
где - точка области Dsik
Пусть Dri®0, а Djк=const, тогда выражение в квадратных скобках принимает вид:
Пусть Djк®0 , тогда
Пусть требуется вычислить область s задана в полярной системе координат, тогда вычисление двойного интеграла можно свести к повторному в полярных координатах,
так как
тогда
Пример. Вычислить по четверти кольца 1£x²+y²£4, лежащего в I квадранте. Сделаем замену:
x=rcosj, y=rsinj
где w - область площади r0j, образом которой является данная четверть кольца.
При отображении дуге АD окружности x²+y²=1 соответствует отрезок прямой =1, 0£j£p¤2;
а дуге ВС окружности x²+y²=4 –соответствует отрезок прямой =2, 0£j£p¤2; отрезкам АВ(y=0) и CD(x=0)- отрезки прямых j=0, j=p¤2, (1£r£2).
Область w представляет собой прямоугольник:
{1£r£2, 0£j£p¤2}
в плоскости r0j.
Замена переменных в двойных интегралах
Пусть даны две плоскости с выбранными декартовыми системами координат UOV,XOY.
Расмотрим на них две области: s и w.
Пусть функции (6)
устанавливают взаимнооднозначное соответствие между точками этих областей. Это значит, что каждой точке (u0,v0) из области w соответствуют точки (x0,y0) из области s, называемая образом точки (u0,v0),
где x0=j(u0,v0), y0=y(u0,v0)
И наоборот: (x0,y0)® (u0,v0), u,v – криволинейные координаты.
Будем говорить, что задают взаимно однозначные отображения области W по s (и наоборот).
Пусть функции непрерывны в области W со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель
будет функцией , определенной в области W. Этот функциональный определитель, называется определителем Якоби, или якобианом отображения (6)
Рассмотрим (7)
Заменим (7) равным ему двойным интегралом по переменным u,v по области w. Разобьем область w на n областей Dw1,Dw2¼Dwn с помощью кусочно-гладких кривых.
Образы этих кривых на плоскости XOY, в свою очередь будут кусочно-гладкими и разобьют область s на n частей: Ds1, Ds2¼Dsn.
Площади соответствующих областей Dwi и Dsi связаны соотношением
где М(mi,ni) –точки области Dwi.
I(mi,ni) – якобиан отображения (6) в этой точке.
Обозначим через образ точки М(mi,ni) при отображении (6).
Для получения разбиения области s на части Ds1, Ds2¼Dsn и специального выбора точек Р1, Р2¼Рn, составляет на этих частях интегральную сумму для двойного интеграла (7):
По построению имеем
,
которая является интегральной суммой для двойного интеграла по области w от непрерывной функции
При lw®0 в области w, ls®0 в области s переходя к пределу в интегральной сумме имеем:
Данная формула есть формула замены переменных в двойных интегралах.
Замечание
Переход от прямоугольных координат к полярным является частным случаем (9): здесь u=j, v=r, x=rcosj, y=rsinj:
Следовательно , поэтому:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|